Tuesday, May 22, 2012
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初始条件和边界条件
初始条件：给定时刻t=0时的速度势分布 边界条件分为远场边界条件和物面边界条件 远场边界条件：给定远场前方、远场上下方、远场左右方和远后方应满足的条件 物面边界条件：气流在物体法线方向的速度(Un)气= (Un)物。 令物面方程为S(x,y,z,t)=0，则t=t+Δt时刻的物面方程为S(x+Δx, y+Δy,z+Δz,t+Δt)=0
将 (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂x ) , (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂y ) , (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂z ) , (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂t ) 带入连续方程可得
∂u ∂v ∂w 1 du dv dw 1 ∂ 2φ ∂u ∂v ∂w ( + + ) − 2 (u +v +w )− 2 ( 2 +u +v +w )=0 ∂x ∂y ∂z dt dt dt ∂t ∂t ∂t a a ∂t
(
∂u ∂v ∂w 1 ∂ρ ∂p ∂p ∂p + + )+ 2 ( +u +v +w )=0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z a ρ ∂t
方程中仍然包含密度和压力项，使用动量方程消去密度和压力项。
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动量方程的使用
⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ du 1 ∂p + u + v + w = = − ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎟ ρ ∂x ⎝ ⎠ dt ⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞ dv 1 ∂p ⎜ ∂t + u ∂x + v ∂y + w ∂z ⎟ = dt = − ρ ∂y ⎝ ⎠ ⎛ ∂w ∂w ∂w ∂w ⎞ dw 1 ∂p + u + v + w = = − ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎟ ρ ∂z ⎝ ⎠ dt 消去 (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂x ) , (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂y ) , (1 / ρ ) / ( ∂p / ∂z )
∂B0 ∂B0 ∂B0 + + = dB0 = 0 ∂x ∂y ∂z
这就是著名的Bernoulli方程，对时间求导可得
1 ∂p ∂ 2φ ∂u ∂v ∂w = − 2 − (u + v + w ) ρ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t Tuesday, May 22, 2012 8/20
速势方程的表达式
u=
2
∂φ ∂φ ∂φ ,v2 ∂ 2φ ∂φ 2 ∂ 2φ ∂φ 2 ∂ 2φ 2 2 [ a − ( ) ] 2 + [ a − ( ) ] 2 + [a − ( ) ] 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ −2 −2 −2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂z ∂y∂z ∂x ∂z ∂x∂z ∂φ ∂ 2φ ∂φ ∂ 2φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ −2 −2 −2 − 2 =0 ∂x ∂x∂t ∂y ∂y∂t ∂z ∂z∂t ∂t
p / ρ γ = const dp γp a2 = = γ C ρ γ −1 = dρ ρ
1 ∂w ∂v Ωx = ( − ) = 0 2 ∂y ∂z 1 ∂u ∂w Ωy = ( − ) = 0 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂u Ωz = ( − ) = 0 2 ∂x ∂y
u=
∂φ ∂φ ∂φ ,v = ,w = ∂x ∂y ∂z
对于正压气体有
1 ⎛ ∂p ∂p ∂p ⎞ ∂ dp ∂ dp ∂ dp + + ⎟= ∫ + ∫ + ∫ ρ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ρ ∂y ρ ∂z ρ 令B0 = ∂φ 1 2 dp + (u + v 2 + w2 ) + ∫ ∂t 2 ρ ∂φ 1 2 dp ∂φ 1 2 dp + (u + v 2 + w2 ) + ∫ = C0 (t )或 + (u + v 2 + w2 ) + ∫ =0 ∂t 2 ρ ∂t 2 ρ
∆S = S ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z, t + ∆t ) − S ( x, y, z, t ) ⇒ ∂S ∂S ∂S ∂S ∆x + ∆y + ∆z + ∆t = 0 ∂x ∂y ∂z ∂t
∂S ∂S ∆x ∂S ∆y ∂S ∆z = −( + + ) ∂t ∂x ∆t ∂y ∆t ∂z ∆t 令n为物面S(x,y,z,t)=0的法线，并令法线同x,y,z轴正方向的夹角分别为(n,x)，(n,y)，(n,z)。则
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∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ⎛ ∂φ 1 2 1 ∂p ⎞ +u +v +w = ⎜ + (u + v 2 + w 2 ) ⎟ = − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎝ ∂t 2 ρ ∂x ⎠ ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ ⎛ ∂φ 1 2 1 ∂p ⎞ +u +v +w = ⎜ + (u + v 2 + w2 ) ⎟ = − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ⎝ ∂t 2 ρ ∂y ⎠ ∂w ∂w ∂w ∂w ∂ ⎛ ∂φ 1 2 1 ∂p ⎞ +u +v +w = ⎜ + (u + v 2 + w 2 ) ⎟ = − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ⎝ ∂t 2 ρ ∂z ⎠
欧拉方程
假设：理想气体，略去体积力
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ 1 ∂p ⎜ ∂t + u ∂x + v ∂y + w ∂z ⎟ = − ρ ∂x ⎝ ⎠ ⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞ 1 ∂p + u + v + w = − ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎟ ρ ∂y ⎝ ⎠ ⎛ ∂w ∂w ∂w ∂w ⎞ 1 ∂p ⎜ ∂t + u ∂x + v ∂y + w ∂z ⎟ = − ρ ∂z ⎝ ⎠
假设：正压气体、无旋流动、等熵流动 正压气体 无旋流动
� i ∂ Ω= ∂x u � j ∂ ∂y v � k ∂ =0 ∂z w
等熵流动
∂ dp ∂P 1 ∂p = = ∂x ∫ ρ ∂x ρ ∂x
∂ dp ∂P 1 ∂p = = ∂y ∫ ρ ∂y ρ ∂y ∂ dp ∂P 1 ∂p = = ∂z ∫ ρ ∂z ρ ∂z ∂ dp ∂P 1 ∂p = = ∂t ∫ ρ ∂t ρ ∂t
p = ρ RT ρ d h d p ∂p = ( )− dt dt ρ ∂t
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速势方程推导
加入应力处理后，N-S方程简化为欧拉方程，未知量也从15个降到6个，分别为u,v,w,p,ρ,T。引入速 度势之后，u,v,w都可以用速度势来表示，方程未知量从6个降到4个，分贝为φ,p,ρ,T。有了速度
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加速度势
对于无旋流动，不仅存在速度势而且存在加速度势
ax =
∂ψ ∂ψ ∂ψ , ay = , az = ∂x ∂y ∂z
x方向的加速度为
∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂φ ∂u ∂ ∂φ ∂ ∂φ = ( )+u +v ( )+w ( ) ∂x ∂t ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂ ∂φ ∂u ∂ ∂φ ∂ ∂φ = ( )+u +v ( )+w ( ) ∂x ∂t ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂ ∂φ ∂u ∂v ∂w = ( )+u +v +w ∂x ∂t ∂x ∂x ∂x ∂ ∂φ 1 ∂ 2 = ( )+ (u + v 2 + w2 ) ∂x ∂t 2 ∂x ∂ ∂φ 1 = [ + (u 2 + v 2 + w2 )] ∂x ∂t 2
物体运动的法向速度为 ∆x ∆y ∆z (U n )物 = ( )物 cos(n, x ) + ( )物 cos( y , x ) + ( )物 cos( z , x ) ∆t ∆t ∆t
cos(n, x) = ∂S ∂S ∂S ;cos( n, y ) = ;cos( n, z ) = ∂x ∂y ∂z
势之后可以建立一个只含速度势的方程，通过求解这个方程就可以得到速度势，然后 利用速度势去确定其他的流场参数p,ρ,T，这样可以讲求解过程进一步简化。 连续方程 动量方程 理想气体 正压气体 无旋流动 等熵流动
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欧拉方程
速势方程 速势方程必要假设
速势方程的必要假设
ax =
ψ=
∂φ 1 2 2 + (u + v + w2 ) ∂t 2 ∂ψ ∂ψ ∂ψ ax = , ay = , az = ∂x ∂y ∂z
类似可以得到y,z方向的加速度表达式
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连续方程的演化
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z