l
Vl a*
, r
Vr a*
又，在激波坐标系中， 则
V
2
p V 2 p
l
r
pr pl lVl 2 rVr 2
普朗特公式，左行激波与右行激波
pr pl lVl 2 rVr 2
又，在激波坐标系中，
lVl rVr
于是有
pr pl lVl 2 rVr 2 lVl Vl Vr rVr Vl Vr
因此，在激波坐标系中看流动，波前必定是超音速， 波后是亚音速，即
l 1且r 1
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得 1且 1
l r
即 由
* 2 * 2
Vl a*且Vr a*
Vl 2 al 2 Vr 2 ar 2 a a 2 1 2 1 2 1
因此有 即 即
V 2 p l V 2 p r
l Vl pl r Vr pr
2 2
rVr2 pr lVl 2 pl rVr lVl
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
rVr2 pr lVl 2 pl rVr lVl
rVr E
p p lVl E r Er l El r l
而
V F V 2 p V E p
2.3.3 激波前后参数关系式
激波前后参数关系式
考虑压力密度关系，由于坐标 变换不影响热力学参数，因此， 运动激波前后的压力密度关系 与定常激波相同：
1 r 1 pr 1 l 1 r pl 1 l
因此有
V E p V E p l r
p p rVr E lVl E r Er l El r l
类似地，可以化为
激波跳跃关系式 rVr lVl r l 故有
2
激波跳跃关系式
在激波坐标系看来，激波不动，相应的流动参数 记为：
Wl V , Wr V E E l r
V V
E e
1 V 2 2
激波跳跃关系式
为了方便，定义通量函数
V V 2 2 F V p , F V p V E p V E p
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得
l 1且r 1
Mal 1,
及 即 故
Mar 1,
Vr Vr Mar 1 ar ar
Vl Vl Mal 1, al al
Vr ar Vl al
普朗特公式，左行激波与右行激波
对于两个相邻的同族激波，后面的激波比前面的运动 得快，必然赶上前面的。
l
1
m
2 m
2
r
以左行激波为例证明如下： 由 V a V a
r r
m
, Vm am 1 Vl al
得
2 1
即
2 1
因此，右边激波比左边激波跑得快，从而会赶上。
左行激波就是第Ⅰ束特征线会聚形成的激波
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式：l r 1 第（2）种情况：在激波坐标系中，流体从右向左流动， 即
V l 0且V r 0
V l V r
对于第(2)种情况，因激波是压缩波，所以
因此，在激波坐标系中看流动，波前必定是超音速， 波后是亚音速，即
因此有 即 即
lVl rVr
l Vl r Vr
rVr lVl r l
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
第12章 非定常空气动力学(2)
2.3 运动激波关系式
2.3.1 激波跳跃关系式
激波跳跃关系式
在某参照系看来是静止的激波，在运动参照系看 来就是运动的。
激波跳跃关系式
以匀速运动的飞机的头部脱体激波为例，在固定 在飞机上的参照系看来是静止的，但在地面看来 就是运动的。
激波跳跃关系式
假设在一般坐标系中，激波是运动的，相应的流 动参数记为
Wl V , Wr V E E l r
1 2
其中， E e V 2 表示总能。
下标
l, r
分别表示激波左边和激波右边的状态。
激波跳跃关系式
由于激波的运动速度为，所以在激波坐标系看 来，流体的速度变为 V V ，总能变为 E e 1 V 2
即
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
W V E
因此，
Fr Fl Wr Wl
激波跳跃关系式
Fl Fr
Fr Fl Wr Wl
激波参照 系上的控 制体
为激波的运动速度
W V E
V F V 2 p V E p
VVr l a*
根据 l
2
1
Vl a
*
, r
Vr a*
就得到激波坐标系中的普朗特公式： 普朗特公式还可以写成
VVr a l
* 2
l r 1
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式： 上式包含两种情况： （1）在激波坐标系中，流体从左向右流动，即
l r
1
激波跳跃关系式
Fr Fl Wr Wl
为激波的运动速度
上式反映了穿越激波流动参数的跳跃关系，所以一 般称为激波跳跃关系，在计算流体力学界也称为兰 金－于戈尼奥关系（Rankine-Hugoniot relation，简 称R-H关系式）。
激波跳跃关系式
Fr Fl Wr Wl
W V , E
V F V 2 p V E p
当存在激波时，穿越激波满足跳跃关系式： 为激波的运动速度 Fr Fl Wr Wl
激波跳跃关系式
之所以称 W , 由守恒方程
V , E 为守恒变量，是因为
tr
W F 0 t x
d Wdx F F dt
沿空间积分得
因此，当 F F 时，W的总量并不随时间变化，即守 恒。
2.3.2 普朗特公式，左行激波与右行激波
普朗特公式，左行激波与右行激波
临界音速：当气流速度等于当地音速时，对应的音速 就是临界音速。 利用总焓守恒这一关系式，得临界音速与任一点流速 和音速的关系：
知
al a 且ar a
*
*
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得 1且 1
l r
及 故
al a*且ar a*
Vl Vl Mal l 1 al a*
且
Vr Vr Mar r 1 al a*
*
2
由上述两式得
VVr l Vr Vl * 2 1 0Vr l Vr Vl * 2 1 0 a
因为 Vl Vr ，所以必有
VVr l a*
2
1
普朗特公式，左行激波与右行激波
普朗特公式，左行激波与右行激波
Vr ar Vl al
运动速度满足上述关系式的激波称为右行激波，因为在流 体质点看来，激波是向右传播的。
第Ⅲ束特征线向 右行激波会聚
普朗特公式，左行激波与右行激波
第Ⅰ束特征线向 左行激波会聚
第Ⅲ束特征线向 右行激波会聚
左行激波是第Ⅰ束特征线会聚形成的，因此也称第Ⅰ 族激波；右行激波是第Ⅲ束特征线会聚形成的，也称 第Ⅲ族激波。向相同方向运动的激波称为同族激波， 也称同向激波。
V V
E e
1 V 2 2
激波跳跃关系式
在激波坐标系上，激波是静止的，因此可以照搬 静止激波的所有关系。
激波跳跃关系式
激波参照系上的控制体
考虑上图所示的激波参照系上的控制体，质量、 动量与能量守恒关系可以表示为
Fl Fr
激波跳跃关系式
激波参照 系上的控 制体
Fl Fr
V l 0且V r 0
（2）在激波坐标系中，流体从右向左流动，即
V l 0且V r 0
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式：l r 1 第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 即
V l 0且V r 0
Vl V r
对于第(1)种情况，因激波是压缩波，所以
为激波的运动速度
在计算流体力学界，变量 W , V , E 称为守恒 变量，而 F V , V 2 p, V E p tr 称为通量
tr
函数。
激波跳跃关系式
在流场光滑的区域，流动参数满足下面的守恒方程：