Tuesday, May 22, 2012
/21 15 15/21
动量方程
根据牛顿第二定律，流体微元的质量同加速度的乘积等于该微元体所受的力(体力和面力)的总和。 x方向，单位体积的质量和加速度的乘积为 ρ ax ，单位体积的体力为 ρ f x
∂π yx ⎛ ⎞ ∂π xx ∂π zx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ π + dx − π dydz + π + dy − π dz − π zx ⎟ dxdy ⎜ yx ⎜ xx xx ⎟ yx ⎟ dzdx + ⎜ π zx + ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂π yx ∂π zx ⎞ ⎛ ∂π = ⎜ xx + + ⎟ dxdydz ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
因此，x方向对于单位体积的面力为
同理可得，y方向和z方向对于单位体积的面力为 由此可得x,y,z三个方向的动量方程如下
∂π ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ∂π ∂π ρ ⎜ + u + v + w ⎟ = ρ f x + xx + yx + zx ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t ∂π ∂π ∂π ⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞ ρ ⎜ + u + v + w ⎟ = ρ f y + xy + yy + zy ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t ∂π ⎛ ∂w ∂w ∂w ∂w ⎞ ∂π ∂π ρ⎜ +u +v + w ⎟ = ρ f z + xz + yz + zz ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t
Tuesday, May 22, 2012 /21 12 12/21
一般情况下，流场中的密度是连续的，因此 P = ∫
dP = dp 1 ∂p ∂p ∂p ∂p = ( dx + dy + dz + dt ) ρ ρ ∂x ∂y ∂z ∂t
dP =
∂P ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz + dt ∂x ∂y ∂z ∂t
2 1
2
dt
2.体力所做的功 单位时间，作用在单位体积上的体力所做的功为 ρ ( u f x + v f y + w f z ) 3.面力所做的功 面力所做的功包括法向应力和切向应力所做的功
某一点的面力(压力、粘性力)分布密度(应力)：
π = lim
∆∏ ∆ S → 0 ∆S
Tuesday, May 22, 2012
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流场参数：
某一点的法向应力和切向应力
π nn = lim 法向应力定义为：
∆ ∏ nn ∆ S → 0 ∆S
∆ ∏ nS ∆S →0 ∆S
切向应力定义为： π nS = lim
∂π xx ∂π yx ∂π zx + + ∂x ∂y ∂z ∂π xy ∂x
+
∂π yy ∂y
+
∂π zy ∂z
∂π xz ∂π yz ∂π zz + + ∂x ∂y ∂z
Tuesday, May 22, 2012
/21 16 16/21
能量方程
根据能量守恒定律，单位体积气体的总能量在单位时间里的变化等于作用在这个微元体的体力、面 力单位时间里做的功与单位时间内此微元体传入、传出的能量差。 1.总能量的变化 总能量包括内能和动能两部分，由热力学可知，对于比热比是常数的完全气体，气体的内能只和 绝对温度T有关，单位质量的气体内能为 e = cvT ，单位质量的动能为 2 U 。 单位质量的气体的总能量为 h = cvT + 1 U 2 ，单位体积单位时间的总能量变化为 ρ d h
两种气体描述方法
• • Lagrange方法：着眼于描述气体中某一个质点的运动规律来研究整个气体运动； Euler方法：着眼于研究空间某一处的的气体运动特性从而研究气体的空间运动；
Tuesday, May 22, 2012
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对于空间的某一点(x,y,z),有很多不同的气体质点流过。在t时刻这一点的速度、静压、 密度和温度可以表示如下：
�� �� U = U ( x, y , z , t )
p = p( x, y, z, t ) ρ = ρ ( x, y , z , t ) T = T ( x, y, z, t )
在欧拉描述方法中，气体参数是空间坐标和时间的函数，气体参数对时间的变换率表 示为d/dt。例如，点(x,y,z)处的加速度是在时刻t流经该点的气体质点速度对时间的变化率。 当时间从t变化到t+Δt时，该气体质点的空间位置也由(x,y,z)变化到(x+Δx,y+Δy,z+Δz),速度 �� �� 则由 U ( x, y, z , t )变到U ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z , t + ∆t ) 。令u,v,w分别是x,y,z方向的速度分量，则 x方向的速度可以写为：
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非定常气动力的发展
理论方法、准定常方法 小扰动势流理论非定常方法 全速势理论非定常方法 基于欧拉方程的非定常方法 基于N-S方程的非定常方法 DES,LES,DNS
Tuesday, May 22, 2012
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非定常气动力计算的应用范围
1. 气动弹性计算； 2. 各种非定常过程：投放、动导数、螺旋桨滑流及直升机旋翼等； 3. 大迎角分离流、过失速机动； 4. 流动控制技术； 5. 湍流及小尺度漩涡流动； 6. 扑翼的非定常空气动力；
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非定常气动力的发展
• 六十年代末，Albano等人提出了计算三维亚音速谐振荡非定常气动力计算的偶极 子网格法，这种方法可以处理任意外形的多翼、多体组合构型。核函数法和偶极 子网格法在工程运用中得到了广发的应用。 • 与上述两种方法同时发展起来的还有基于线化理论的三维超音速谐振荡非定常空 气动力计算方法。和亚音速广泛使用的核函数法和偶极子网格法不同，超音速领 域的各种方法并没有明显的精度和效率优势，呈现“百家争鸣”状态。 • 基于线化理论的三维亚、超音速非谐振非定常空气动力计算方法也随之发展，如 Green函数法，但是其成熟程度还不及谐振的非定常气动力计算方法。 • 七十年代，随着计算机的发展，跨音速非定常气动力计算得以实现，计算对象由 二维到三维，计算频率由低频向中高频。 • 上述的方法基本都是基于小扰动假设提出的线性化方法，随之发展的有基于全速 势方程、Euler方程和N-S方程的非定常气动力计算方法。
[ρv +
[
∂ ( ρu ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w) + + ]dxdydz ∂x ∂y ∂z
[ρ w +
单位时间内，因为气体密度变化引起的微元体的气体的气体质量变化为
∂ρ dxdydz ∂t
由此可得如下的连续方程
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
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非定常气动力的发展
• 非定常空气计算的发展一方面取决于飞机研制工程应用的需要，另一方面取决于 计算机能力的发展。非定常空气动力计算的理论基础形成较早，但是，真正形成 可供工程应用的计算方法取决于计算机的发展。 • 三十年代，基于线化理论二维不可压流的非定常空气动力计算方法，如 Theodorson方法，Küssner方法；(随频率变化)英国的古典方法、苏联的Grossman 方法；(不随频率变化)同时，建立了可用于非谐振荡运动的二维不可压方法。 • 四十年代，随着飞行速度提高，发展了基于线化理论的二维亚音速非定常气动力 计算方法，但是这些方法并未得到广泛运用，设计师仍然习惯使用二维不可压流 的非定常计算方法计算非定常气动力，然后使用Prandtl-Glauert进行压缩性修正。 • 五十年代中期，发展了基于线化理论的三维非定常空气动力计算方法。Walkins提 出了著名的亚音速三维谐振荡非定常气动力计算的核函数法，使得三维亚音速非 定常气动力进入工程运用。
1 [u ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z, t + ∆t ) − u ( x, y, z, t )] ∆t →0 ∆t 用Taylor级数展开忽略高阶项后可得 ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w ∂w ax = + u + v + w ，同理可得a y = + u + v + w , az = +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z
� 理想气体
• • 理想气体是指没有粘性和热传导的气体； 气流只有在流动参数梯度变化比较大的区域，粘性和热传导参会体现出明显的作用， 比如激波和附面层。除此以外可以认为气体是无粘性和没有热传导的。
� 正压气体
� 一般而言，流场中任意一点的静压p是密度ρ和温度T的函数，即p=p(ρ,T)。对于正压气 体，假设静压只同密度有关，即p=p(ρ)或ρ=(p)
Tuesday, May 22, 2012
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方程演化
连续方程 动量方程
质量守恒定律，连续介质 牛顿第二定律 能量守恒定律 完全气体 牛顿流体(Stokes假设)
Navier-Stokes方程
能量方程 状态方程
理想气体 (略去气体粘性和热传导 )
应力关系式
Euler方程 线性化方程
ax = lim