SWF
load = +[u]*fu+[v]*fv+[w]*fw-[funa]*f(1)-[funb]*f(2)-[func]*f(3) -[fund]*f(4)-[fune]*f(5)-[funf]*f(6)
Model results
Automatic source code generator
xx x
组，求解该代数方程组即得求解域场函数的近似解。
Data =>???
Physical model
PDEs
SWF
Data Grid (GEON and others)
func funa=+[u/x] ……… funf=+[u/y]+[v/x]
FEM Modeling Language
……… dist =+[funa;funa]*d(1,1)+[funa;funb]*d(1,2)+[funa;func]*d(1,3) +[funb;funa]*d(2,1)+[funb;funb]*d(2,2)+[funb;func]*d(2,3) +[func;funa]*d(3,1)+[func;funb]*d(3,2)+[func;func]*d(3,3) +[fund;fund]*d(4,4)+[fune;fune]*d(5,5)+[funf;funf]*d(6,6)
FEM 研究的3个层次
基本内容与架构
▲ 高级FEM
理论、技术
PDE 等效转化理论（Galerkin法、泛函/变分）； 单元位移模式、形函数； 等参元概念； 误差估计； 编程技术；（独立开发、二次开发、图形拓扑、数据库）； 非结构、多场耦合分析
长期学习、积累与实践
课堂学习，建立概念； 软件系统学习练习建模； 习题/练习加深概念理解； 独立编程熟悉FEM技术环节； 拜师学习特殊技巧、难点、方法； 网上资源了解最新进展。
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
单元形状及相互联结
二、结构单元离散
由于单元的尺寸及数目直接影响解的收敛性 与精度，所以要小心加以选择。一般来说， 单元尺寸越小，单元数目越多，得到的解越 精确，但需要的计算时间越长。但是，当单 元数目超过一定数目N。以后，再增加单元 数目，精度不会再有提高。
生物学家达尔文在自传中写道： “我的成功源自复杂的心理素质。其中最重要的是
热爱科学——善于思考——勤于观察——以及具有相 当的发现能力和广博的知识。”
杂谈 -- 关于读书
学习资料
1、机电本科学习材料
[数学]全美经典丛书[1] - 有限元分析 Introduction to Computational Mechanics---中科大讲稿 身边的力学.CHM 有限元分析讲义.chm----清华大学曾攀教授

xy y

xz z

fx

0
xy x

yy y

yz z

fy
0
xz x

yz y

zz z

fz
0
Complete source code
HPCC
二、结构单元离散
有限单元法解决实际问题时，首先用称为网格的分割线 将物体离散成若干个单元，网格越密，替代结构就越接近原物 体。
数字化分析手段
有限元分析及软件
有限单元法背景
总体目标和理念
1. 确立该课程的教学理念，充分体现出有限元分析原理这一 知识主体
2. 构建起能够支撑学生在该领域进行终身学习的知识基础， 能够引导学生了解该领域不断更新的内容
3. 以培养学生在有限元建模和研究综合能力 4. 搭建进行该课程系统教学的基础设施 5. 实践教育教学理念
有限单元法背景
机械类力学课程设置
理论力学(4学分） 新生研讨课(1-2学分) 材料力学(3学分) 基础力学实验(2学分) 工程热力学(4学分) 流体力学(4学分) 传热学(3学分) 有限元方法(2学分)
弹性力学(3学分) 有限元分析及应用(3学分) 工程中的有限元分析专题(2学分) 专业前沿课(2学分)
讲稿提纲
1、有限单元法基本步骤
结构离散、单元分析、结构组装与求解
2、结构单元离散 3、单元位移模式----形函数
一、有限单元法基本步骤
一、有限单元法基本步骤
CAD模型 定型设计
基本思路
散单 元 离
系 成统
集
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同达到 连续，但未必在单元边界上任一点连续；
3. 在把载荷化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡， 在单元内部和边界上不能保证每点都满足控制方程。
三、单元插值函数
一维单元
设一维问题中的场变量（位移、温度、势函数）为Φ（x），
单元的近似函数可式表示为：
(x) 0 1x 2 x2 3x3 n xn
三、单元插值函数
图示典型的一维单元，单元的结点参 数中只包含场函数由的结点值。此单元 有两个自由度，插值多项式的系数应为 两个，
Φ(x) 0 1x
根据单元两端点的条件
x xi 0, i 0; x xj l, j 1l
设计与应用
有限单元法背景
设计与应用
整体结构为双向拉索体系，上拉 索体系为传统的斜拉桥体系，下 拉索体系为主桥体下部与主塔下 部所形成的拉索体系，包括四种 下拉索结构体系，可使主塔内产 生的面内弯矩大幅度降低。
有限单元法背景
设计与应用 数字化分析与真实的实验
基于先进的计算软件和高性 能计算机，有限元分析的计 算结果可以精确到使其与真 实实验结果的相对误差控制 在10％以内。
有限元分析中，近似函数几乎全部采用不同幂次 的多项式。这是因为多项式易于计算和易于满足收敛 性要求，增加插值多项式的项数，可以提高解的精度
三、单元插值函数
基本思想
加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行试函数近似， 能把连续问题化为离散问题，但求解能力有限，一个主要障 碍就是试函数是在全场范围内定义的;
结点是网格线的诸汇交点，用结点连接相邻单元。在进 行剖分时，单元的形状、大小和数目等都必须仔细选择，以使 解的精度较高。
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
力学模型与FEM模型
二、结构单元离散
FEM模型
二、结构单元离散
规格与非规格单元
结构规格网格离散 非规格网格离散
基本原则—单元密度
二、结构单元离散
基本原则-- 单元载荷
二、结构单元离散
单元节点编号优化
三、单元插值函数
基本思想
有限单元法的基本思想是分块逼近。 所谓分块就是物体的离散化，所谓逼近就是在各个单元中选择合 适的近似函数去替代求解函数。这样，有限单元法中的总体区域的解， 可以看作由所有单元上的近似解构成。所以，对单元内部选择近似函 数是有限单元分析中十分重要的步骤之一。
一维单元
三、单元插值函数
一维单元
可解得 0 Φi , 1 (Φj Φi ) / l
Φ(x)
Φi
(Φ j
Φi )x / l

l
lx Φi Nhomakorabeax lΦ
j

NiΦi

N jΦj
[N][Φ]
{Φ}
Φi
Φ
j

为接点处场变量值列阵。
[N] [Ni N j ] [(l x) / l x / l] 为插值函数，也称为形函数。
n
Φ(x) NiΦi
i1
其中 Ni (x) 仍然具有以上性质。关于插值函数 Ni (x) 的构造，为
避免繁琐的推导，不必按上述步骤进行，而是直接采用熟知的 Lagrange插值多项式。
三、单元插值函数
一维单元
如果单元之间的公共结点上不仅保持场函数的连续性，还保持场 函数导数的连续性，则结点参数中还应包含场函数导数的结点值
三、单元插值函数
其中插值函数为
N1

(l 3
3lx2

2x3) / l3

N 2 (l 2 x 2lx2 x3 ) / l 2
N3 (3lx2 2x3 ) / l 3
结构离散技术复杂性
一个斜拉桥塔桥的振动模态分析
二、结构单元离散
几个基本原则
根据物理问题合理选择单元类型。 对于各种不同的实际结构，采用不同的单元。
对于输油管道和管架可采用杆单元; 对于具有圆孔的平板; 油罐角焊缝部位、盲板可用三角形单元; 矩形单元不能适应斜交边界和曲线边界，可以把矩形单元和 三角形单元混合使用。(也可采用非规则等参元)
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
有限元方法的基本思想是将场函数的总体泛函或总体解域上 的弱形式积分看成是由于子域（单元）的泛函或弱形式积分所集 成。
建立起单元的插值函数，将场函数表示成单元节点的插 值形式；
利用数值积分计算出单元的泛函或弱形式积分； 通过单元集成形成以节点场函数值为未知量的代数方程
有限单元法讲课提纲-08 CAE入门资料
2、学习网站
杂谈 -- 关于读书
学习资料
有限单元法背景
为什么学
1. 工程数值分析已成为科学研究和工程设计评判的重要手 段之一