高校应用数学学报 ２０１３，２８（１）：９６－－１０６
极大函数交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空问的估计 樊云 ，贾厚玉 （１．湖州师范学院，浙江湖州３１３０００；２．浙江大学数学系，浙江杭州３１００２７１
摘要：主要讨论了Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗ＿０ｏｄ极大函数，Ｓｈａｒｐ极大函数以及分数次极大函数 与ＢＭＯ（Ｒ＇ ）函数生成的交换子在广５（Ｍｏｒｒｅｙ空间上有界性的等价刻画． 关键词：极大函数；交换子；ＢＭＯ（Ｒ￣ ）；广ＫＭｏｒｒｅｙ空间 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－．４４２４（２０１３）０１—００９６－．０１１
§１ 引 言
设 是经典的奇异积分算子， 是分数次积分算子，它们与Ｒ”上的一个局部可积函数６（ ）生 成的交换子定义为
【 ，６］，＝ｂＴ（ｆ）一 （６＿厂）； ［Ｌ，ｂ］ｆ＝６ （＿厂）一 （６，）． （１．１） １９７６年，Ｃｏｉｆｍａｎ，ＲｏｃｈｂｅｒｇＳＨＷｅｉｓｓ在『１］中最先提出了交换子理论，并证明了当１＜Ｐ＜ ∞时，交换子［ ，６】在ＬＰ（Ｒ＇ ）中有界当且仅当ｂ￣ＢＭＯ（Ｒ＇ ）．后来：Ｃｈａｎｉｌｌｏ在『２］中给出了分数 次积分交换子在ＬＰ（Ｒ￣ ）上的有界等价刻画，当０＜ ＜ｎ，１＜Ｐ＜ 和 ＝ １一 时，交换 子［ ，６］从ＬＰ（Ｒ ）到 （Ｒ ）有界也当且仅当６∈ＢＭＯ（Ｒ ）．一直以来交换子的研究都是调和分 析的热点之一，被许多学者所关注，可参见文献［３—６】＿但对于非线性算子生成的交换子研究的却 不多，得到的结论也不多． 设６（ ）是Ｒ”上的一个局部可积的函数，它￣ＨＨａｒｄｙ Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大函数Ｍ，Ｓｈａｒｐ极大函 数Ｍ＃生成的交换子分别定义为
［Ｍ，６】，＝ｂＭ（ｆ）一Ｍ（６ ［ＭＨ，ｂ］ｆ＝ｂＭ￣（ｆ）一Ｍ （６，）． （１．２） 当６ ６ＢＭＯ￣，Ｍｉｌｍａｎ和ｓｃｈｏｎｂｅｋ首先在［７】中建立了［Ｍ，６］和［ＭＨ，６］在 ｐ（Ｒ ）空间中的有 界性；２０００ｑ￣Ｂａｓｅｒｏ，Ｍｉ１ｍａｎ和Ｒｕｉｚ在【７］的基础上于［８］中给出了［Ｍ，ｂ］和［ＭＨ，ｂ］在Ｌ （Ｒ ）中有 界的等价刻画．之后【９］又将这一等价刻画推广到Ｍｏｒｒｅｙ空间．最近ｚｈａｎｇ和ｗｕ【１０］考虑了分 数次极大函数交换子
［ ，６］，＝ｂ （，）一 （ｂｆ） 收稿日期：２０１２．０５－．１６ 修回日期：２０１３－－０２－－０６ 基金项目：国家自然科学基金（１０８７１ｌ７３；１０９３１００１；１１２２６１０９） 樊 云等：极大函数的交换子在Ｍｏｒｒｅｙ＃＿间的有界性 ９７ 在ＬＰ（Ｒ”）中的有界刻画． 定理Ａ［。】 设６（ ）是Ｒ 上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜∞，则下述结论等价： （Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ），且ｂ一∈ （Ｒ ）； （ＩＩ）［Ｍ，ｂ】在ＬＰ（Ｒ ）上有界； （ＩＩＩ）ｓｕｐｑ ＩＱＩ Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）Ｉ ｄｘ＜∞， 其中 ｂ～（Ｘ）＝～ｍｉｎ｛ｂ（ｘ），０）． 定理Ｂ［１ｏ］ 设６ ）是Ｒ 上局部可积的实值函数，０＜ ＜ｎ，１＜Ｐ＜ ｎ， １＝ １一芸，则下述 结论等价： （Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ），且ｂ一∈ （Ｒ ）； （ＩＩ）［ ，ｂ］是从ＬＰ（Ｒｎ）￣＝Ｉ］Ｌｑ（Ｒ”）有界的； （ＩＩＩ）ｓｕｐＱ ＩＱＩ ｌｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌ ｄｘ＜。。． 受上述结论的启发，本文考虑了极大函数与ＢＭＯ（Ｒ ）函数生成的交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空 间中有界的充要条件．
§２定义和主要结果
设０ ＜ｎ，ｆ∈ 。（Ｒ ）．分数次极大函数定义为 广 （，）（ ）＝ｓｕｐ ｌＱＩ芸一 ／Ｉｆ（Ｙ）ｌｄＹ， ∈Ｒ”，
∈Ｑ ｌ，Ｑ
其中Ｑ表示以各边分别平行于坐标轴的方体，ＩＱｌ表示Ｑ的Ｌｅｇｅｓｇｕｅ测度．当 ＝０Ｎ， 就 是Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大函数 ． 设Ｑ０是一个固定方体，限制在Ｑｏ上的分数次极大函数定义为
Ｍｓ，
Ｑ。（，）（ ）＝ ｓｕｐ ＩＱ Ｊ 一 ／Ｊｆ（Ｙ）ｌｄＹ．
当 ：ＯＮ，把 ，Ｑ。记作ＭＱ。，就是限制在Ｑ０Ｊ：￣Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ￥￣： 数［ 定义２．１设．厂∈ 。（Ｒ ），ＢＭＯ（Ｒ ）空间定义为
ＢＭＯ（Ｒ ）＝｛‘厂∈ ｝０。（Ｒ ）： ＪＩｆＩＩＢＭＯ＜。。）， 其中 ＩＩ／１１ＢＭ。 ｓ 。 １ Ｊ＿，（ ）一，Ｑ Ｊｄ ，
上式中的Ｑ取遍Ｒ 中各边分别平行于坐标轴的方体． 定义２．２令１ Ｐ＜∞，假设 （ｒ）是Ｒ＋上的非负单调递增函数，且满足双倍条件，即对所 有的ｒ＞０， （２ｒ） Ｄ （ｒ）． 这里的Ｄ是与ｒ无关的常数，Ｄ＝Ｄ（ ） １，则广义Ｍｏｒｒｅｙ空间 ， （Ｒｎ）定义为
（Ｒ ）＝｛ｆ∈Ｌ 。（Ｒ ）：ｌＩｆｌｌｐ， ＜∞）， ９８ 高校应用数学学报 第２８卷第１期 其中 ，ｔ－ ｘｏ ＞。
（南９７ Ｊ Ｑ（、ｘ ，∈Ｒｎ， ＞０、 ｌ ． １ ｌｆ（ｘ）ｌＰｄｘ ｌ｝
Ｑ（ｘｏ，￡）是指以Ｘｏ为中心边长为ｔ的方体． 当 （ｒ）＝ｒＡ时，Ｌｐ，４）（Ｒ ）正是经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间 ｐ，Ａ（Ｒｎ），这类空间是Ｍｏｒｒｅｙ为了研究 二阶椭圆偏微分方程引进的．当 ＝０时，Ｌｐ， ｆＲｎ）：ＬＰ（Ｒｎ）． 下面就给出主要结果： 定理１ 设６（ ）是Ｒ 上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜∞，１ Ｄ＜２ｎ，则下述结论等价： （Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ），且ｂ一∈ ｏ。（Ｒｎ）； （ＩＩ）［Ｍ，６］是从 ， （Ｒ ）￣＝ＩＪＬＰ， （Ｒｎ）有界的； （ＩＩＩ）ｓｕｐＱ ｌＱＩ Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌＰｄｘ＜∞， 其中
ｂ一（Ｘ）＝一ｍｉｎ｛ｂ（ｘ），０） 定理２设６（ ）是Ｒ 上局部可积的实值函数 １ Ｄ＜２ｎ－－￣ｐ，则下述结论等价： （Ｉ）ｂ ｅＢＭＯ（Ｒ ），且６一∈Ｌ。。（Ｒ ）； （ＩＩ）［ ）６］是从Ｌ ， （Ｒｎ）到 ｑ， 詈（Ｒｎ）有界的；
（ＩＩＩ）ｓｕｐＱ ＩＱＩ Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌ。ｄｘ＜∞．
０＜ ＜礼，１＜Ｐ＜詈， １＝ １一并
§３定理１的证明 为证明定理１，需要下面的引理 引理３．１［ 】 设１＜Ｐ＜∞，￣ｉｂ（ｘ）∈ＢＭＯ（Ｒ ）且ｂ（ｚ） ０，则［Ｍ，６］在 （Ｒｎ）上有界． 引理３．２【ｕ］ 设１＜Ｐ＜∞，１ Ｄ＜２ｎ，则Ｍ在Ｌｐ， ｆＲｎ１上有界．
引理３・３ 设ｌ＜Ｐ＜∞，１ Ｄ＜２”，若６（ ）∈ＢＭＯ（Ｒｎ）且６（ ） ０，则［Ｍ，６】在 ｐ， （Ｒｎ） 上有界．
证对任意的，∈Ｌｐ，４）（Ｒ ），固定方体Ｑ＝Ｑ（ｘ，ｒ），ｒ为方体Ｑ的边长，令．厂（ ）：Ｉ厂）（２Ｑ（ ）＋ ，）（２Ｑ。（Ｙ），其中２Ｑ＝Ｑ（ｘ，２ｒ），所以对任意的ｒ＞０有
（ ， ） （南 ）吉＋（ ） ：＝Ｉ１＋ ． 樊 云等：极大函数的交换子在Ｍｏｒｒｅｙ￣Ｎ的有界性 对于 １，由引Ｎ３．１得 南（ ） ，６】，ｘｚ ） 赤（ Ｉ［Ｍ，ｂ］ｆ ）ｌ Ｃｌ６ＩＢＭ。 （ Ｉ，Ｘ２ ｄ ） ｃＩｌｂｌ…（ Ｑ Ｉ／（ ）
对于 ，由于Ｙ∈Ｑ（ｘ，ｒ），ｂ ） ０，则 ｂ］ｆｘ２Ｑｃ（ ｃｓｆ＞Ｏｕｐ
ｆ）ｎＱ（蝴
ｌ６（们 ）ｌｌ，（ ｌｄ
注意到由于 ∈Ｑ（ ，ｒ）， ∈Ｑ（ ，１）ｎＱ（ｘ，２ｒ）ｃ，即ｌ 一 １＜ ｒ，Ｉｚ－－ｙ］＜ ２，Ｉｘ－ｚｌ＞ ｒ 则有ｆ＞、／ 『 一 ｌ＞、／ （１ —ｘｌ—Ｉｘ—ｙ１）＞ｒ和Ｑ（ｚ，２）Ｃ Ｑ（ｙ，４／），Ｑ（ｙ，ｆ）Ｃ Ｑ（ｘ，４／），所以
，Ｘ２ ＜Ｃ ｓｕｐ 。 ｆ）ｌ （ ）ｌｌｆ（
Ｉ天Ｉｌ ｃ赤（ － ｓｕ＞ｐ。 ｆ）ｌ ｃ
赤ｆＱ［ｓｕｐ。 ｆ）ｌ Ｑｔ ＋ｃ赤（ ｓｕｐ 。 ｆ）ｌ
。杀 。（ ／Ｑ（ｘ，４１）Ｉｆ（ｚ）ｌＰｄｚ） 。ｓｕ （ ｆ）】 ｄ ）吉 Ｏｓｕ （ ｆ）１ ｄｚ） ＣＩＩｂ｝ｌＢＭＯＩ｝ｆｌｌ ， ． 对ｒ取上确界后知引理得证
＜一 ＜一 ＜一 ＜一 ＜一 ｈ 、、●●●，１一Ｐ ｌ—ｐ 、、●／、、●ｄ ｄ ｄｐ ｐｄ 川 ｄ ｄ川 １００ 高校应用数学学报 第２８卷第１期 定理１的证明 由［８，命题４］的证明可知，（ＩＩＩ）成立蕴含着（Ｉ）成立，所以只须证明（Ｉ） （ＩＩ）和 （ＩＩ）￣（ＩＩＩ）． 首先证明（Ｉ） （ＩＩ），因为
［Ｍ，ｂ］ｆ一【Ｍ，ｌｂ１］ｆＩ＝ＩＭ（ｂｆ）一ｂＭ（ｆ）一Ｍ（１ｂｌｆ）＋ｌｂ［Ｍ（ｆ） Ｍ（（１６ｌ—ｂ）ｆ）＋（Ｉｂｌ—ｂ）Ｍ（ｆ） ＝２（Ｍ（ｂ—ｆ）＋ｂ—Ｍ（．厂））．
由引理３．３知，［Ｍ，Ｉｂ１］ｆ￣ＬＰ， （Ｒ ）上是有界的，￣Ｎ：Ｎｂ一∈Ｌ 以及引理３．２￣ｔＪ［Ｍ，６】， 在Ｌｐ， （Ｒ ）上是有界的．
再证明（ＩＩ）－－－￣，（ＩＩＩ），对任意的ｔ ｒ＞０，存在正整数后＞０，使得２ 一 ｒ ｔ＜２ｋｒ，又因 为 （ｒ）单调递增且满足双倍条件，则有
器 ，
最后一个不等式是因为Ｄ＜２ ．给定任意方体Ｑ（ ，ｒ）＝Ｑ，令．厂＝）（Ｑ∈Ｌｐ， （Ｒ ），则 ／ｌｌｐ，￣ Ｒｓｕ ｐ
＞。 ，
这里的Ｑｄ是指以ｄ为半径的方体，ｄ ｍｉｎ（ｒ， ），￣ｌＱ（ｘ０，ｔ）ｎ Ｑｌ＝Ｑｄ．于是有 （ １ ｌ１［Ｍ，ｂ］ｆ１］ ， ｃＩｆｌ ， １ Ｃ（ＩＱＩ／ （ｒ）） ．
结果得证，因为对任意的 ∈Ｑ，￣ＭＱ（ＸＱ）＝）（Ｑ和Ｍ（ｂｘＱ）（ｘ）＝ＭＱ（ｂ）（ｘ）成立． 命题３．１ 设６（ ）是Ｒ 上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜。。，１ Ｄ＜２ ，则下面的结论等 价：
（Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ ），且６一∈ （Ｒ ）； （ＩＩ）［Ｍｔ￣，ｂ】是从 ｐ， （Ｒ ）到Ｌｐ， （Ｒ ）有界的； （ＩＩＩ）ｓｕｐＱ ｌＱＩ Ｉｂ（ｘ）一２Ｍ“（ｂＸＱ）（Ｘ）ｌ ｄｘ＜。。．
命题３．１的证明 先证（Ｉ） （ＩＩ）．只须证当６（ ）∈ＢＭＯ（Ｒ ）且ｂ（ ） ０时，【Ｍ＃，ｂ］￣！ＥＬｐ， （Ｒ”）上有界