思考：
二维 函数的图？
x0 , y y0 x x0
y
y0
应同时满足积分式（守恒定律）

保留了“数值”对应关系的痕迹
0
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x0 x0
x
§1.2 函数和梳状函数

函数的定义（有多种，介绍三种）
2.普通函数序列极限形式的定义：
x, y lim g n x, y
§1.2 函数和梳状函数

函数的性质
3.分离变量性质：
x, y x y
4.采样性质：与普通函数乘积的性质
f x, y x x0 , y y0 f x0 , y0 x x0 , y y0
5.偶函数性质：
x, y x, y x, y x, y

函数的性质

采样性质：
f x
x x0
f x0 f x0 x x0
0
x0
x
思考：如何证明采样性质？
f x, y x x0 , y y0 f x0 , y0 x x0 , y y0
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函数的性质
3.分离变量性质：
x, y x y
4.采样性质：与普通函数乘积的性质
f x, y x x0 , y y0 f x0 , y0 x x0 , y y0
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§1.2 函数和梳状函数
1 n 1.比例变换性质：comb ax x a | a | n 2.偶函数性质：comb x comb x
3.周期性：comb x n comb x


4.平移性质：comb x 1
5.积分性质：


n 1
comb x 1 2 2
x, y lim g n x, y
n

满足条件函数序列很多，常用的有：
x, y lim n exp[ n ( x y )]
2 2 2 2 2 2
x, y lim n rect (nx) rect (ny ) x, y lim n sinc (nx) sinc (ny )
注意：有偏置情形不成立！


comb x x0 comb x x0
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§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的性质

偶函数性质： 【证明】 comb x comb x
1 comb ax x na | a | n a 1 comb x

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§1.2 函数和梳状函数

函数的性质

筛选性质： 【证明】 f x, y x x0 , y y0 dx dy f x0 , y0 令 X x x0、Y y y0，则 dX dx 、dY dy ， 则左边变为： f X x0 , Y y0 X , Y dX dY 令检验函数 X , Y f X x0 , Y y0 代入 函数的广义函数定义，则左边化为：
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§1.2 函数和梳状函数

函数的性质
3.分离变量性质：
x, y x y
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§1.2 函数和梳状函数

函数的性质

分离变量性质： 【证明】 x, y x y 由 函数的函数序列极限形式定义，有
x x

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0
nb
§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的性质
1 n 1.比例变换性质：comb ax x a | a | n
有偏置情形：


1 n comb ax x0 x x 0 a | a | n
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§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的定义
【例题】写出下图函数 g x 的表达式
g x ?
…
0
x0
b
…
x

x0 处的 函数： x x0 x0 nb 处的 函数： x x0 nb
思考：
写成梳状函数形式？
n
所求函数由无数个 函数组成： g x
n


( k n)
x n
n
a 1 comb x
x n

k
x k

k 值域及定义域均相同，故右边=左边 得证！ n、
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§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的性质

函数不是普通函数，是广义函数，其属性由它
在积分中的作用表现出来
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§1.2 函数和梳状函数

函数的定义（有多种，介绍三种）
1.类似普通非初等函数形式的定义：
, x y 0 x, y 0, x 0, y 0 x, y dx dy 1


要求 x, y 在 0, 0 处连续 不同形式的函数，只要它在上述积分中的作用满 足上式，即可认为它们与 x, y 相等
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§1.2 函数和梳状函数

函数的定义（有多种，介绍三种）

三种定义形式是等效的

应根据具体问题选用最合适的形式


1 xna n | a |
高度、间隔同时 缩放为1/|a|！
n



证毕！
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1 xna | a | n

§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的性质
1 n 1.比例变换性质：comb ax x a | a | n 2.偶函数性质：comb x comb x
§1.4 傅里叶变换
§1.5 线性系统分析 §1.6 二维光场分析 §1.7 透镜的傅里叶变换性质
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§1.2 函数和梳状函数

函数的物理意义

为考察质量或能量在空间或时间上高度集中的现 象，抽象出质点、点电荷、点光源、瞬时脉冲等 物理模型

函数就是用来描述上述物理模型的数学工具
第一章
线性系统分析
教材：苏显渝等《信息光学》
第一章+第二章部分内容

上节回顾

常用非初等函数： 矩形函数、sinc函数、三角形函数、 符号函数、阶跃函数、圆柱函数 定义、图形、特征参数的实际含义？
应用？
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本章内容
§1.1 常用非初等函数
§1.2 函数和梳状函数 §1.3 卷积和相关
x, y lim n 2 exp[ n 2 ( x 2 y 2 )]
lim n exp n 2x 2

2 2 n
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x y
得证！
§1.2 函数和梳状函数
| ab |
令 X ax、Y by，则 dX a dx、dY b dy， 左边代入 函数的广义函数定义的积分式，则：
x, y




x, y | ab | ax, by dx dy
得证！
X Y 0 0 , X , Y dX dY , 0, 0 a b a b
n
且对该函数序列中的任一函数，皆有：
lim g n x, y 0, x 0, y 0 n

g n x, y dx dy 1
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§1.2 函数和梳状函数

函数的定义（有多种，介绍三种）
2.普通函数序列极限形式的定义：

梳状函数的定义

二维梳状函数：comb x, y comb x comb y 其中 comb x
n
x n ，comb y y m
m



思考：二维梳状函数的图形？
comb x, y
性质？
… 由 函数的 性质决定
2 1 0 1 2 2 1 1
y
…
2
x
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§1.2 函数和梳状函数

梳状函数的定义
【例题】写出下图函数 g x 的表达式
g x ?
…
0
x0
b
…
x
x0 处的 函数： x x0 x0 b 处的 函数： x x0 b
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§1.2 函数和梳状函数

函数的性质
广义函数定 义形式的扩 1.筛选性质： 展 设函数 f x, y 在 x0 , y0 点连续，则有：
f x, y x x , y y dx dy f x , y
0 0 0 0
0 0 0 0

2.坐标缩放性质：
1 设 a、 b 为实常数，则有 ax, by x, y | ab |