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矩阵合同的定义

甲方：___________________

乙方：___________________

日期：___________________

篇一：矩阵的合同，等价与相似的联系与区另U

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质(一)等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A 与B等价，记为A

B

O

2、矩阵等价的充要条件：

AB(

同型，且人r(A)=r(B)

存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=E^立

3、向虽组等价，两向虽组等价是指两向虽组可相互表

出，有此可知：两向虽组的秩相同，但两向虽组各自的线性相关性却不相同。(二)合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得

A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。2、

矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A

BBPAPB

T

二次

型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

(三)相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~&

2、矩阵相似的性质：

A~B,A~B,A

A~B

TTkkl

~B(前提，A,B均可逆)

1

|E-A||EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)

r(A)=r(B)

tr(A)tr(B) 即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：

A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向H组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n) , B(1,2,,m)

1、若向虽组(1,2,,m )是向虽组(1,2,,n )的极大线性无关组，则有

mn,即有两向虽等价，而两向H组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n,两向H组(1,2,,n ) ( 1,2,,m )则有矩阵

A,B 同型且r(A)r(B)

A~B,AB,ABr(A)r(B)AB o

3、若ABr(A)r(B)两向虽组秩相同，两向虽组等价，即有

AB(1,2,,n)(1,2,,n)

综上所述：矩阵等价与向H等价不可互推。(二)、

矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系

①相似等价：A~②合同等价：A

B

A,B 同型且r(A)r(B)

AB

BA,B 同型且r(A)r(B)AB

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条

件时可以I、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当

A~B

时，|EA||EB| 二次型f(x)

XAX

T

与g(x)

XBX

T

有相同的

标准型，即二者有相同的正负惯性指数

即有A~

BABAB

ABAB

T

E使得PAPB即AB

H、存在一个正交矩阵P,即PTP

BPAPP

T

1

则有

AP~A

B即有A

BA~B

用、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P,则

A~B

时有

A~BABAB

IV、A~Br(A)r(B) 、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B)

B,AB成立的条件。

下面讨论r(A)r(B) 时A~B,A由I、的论述可知存在正交矩阵P 时，有PT

T

P

1

则

r(PAP)r(A) 记BPAP则r(A)r(B)

T

此时A

BA~BAB

A~B,AB,AB

即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)(三)