第２７卷第５期上海理工大学学报Ｊ．Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｓｈａｎｇｈａｉｆ矗ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、厂ＯＩ．２７Ｎｏ．５２００５
文章编号：１００７—６７３５（２００５）０５—０４１３—０４
复杂网络演化的自组织现象杨建民，张宁（上海理工大学管理学院，上海２０００９３）
摘要：现实世界许多复杂系统描述为复杂网络拓扑后，节点连通度呈幂律衰退，网络中存在少量的高连通度节点和大量的低连通度节点．本文研究了复杂网络的网络拓扑熵与网络结构的关系，从系统的开放性、远离平衡态、非线性相互作用以及随机涨落的角度对网络进行了分析，认为复杂网络拓扑结构是系统自组织演化的结果．
关键词：复杂系统；复杂网络；无标度网络；自组织中图分类号：Ｎ９４１
文献标识码：Ａ
Ｓｅｌｆ—ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｐｈｅｎｏｍｅｎａｏｆｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｅＶｏｌｕｔｉｏｎＹＡＮＧＪｉａｍｍＩｎ，ＺＨＡＮＧＮｉｎｇ
（已ＺＺ昭Ｐ矿拖撇ｇ啪跏￡，Ｕｈｉｔ肥坶匆Ｑ厂Ｓ‰九ｇ加ｉ如ｒ＆缸ｗ卯口趔孔曲行。比到，Ｓｋ以ｇ加ｉ２００Ｄ９３，Ｃ阮撒）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＷｈｅｎａｎｕｍｂｅｒｏｆｃＯｍｐｌｅＸｓｙｓｔｅｍｓｉｎｒｅａｌｗｏｒｌｄａｒｅｄｅＳｃｒｉｂｅｄｂｙ∞ｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｔｏｐ０１０—
ｇｙ，ｔｈｅｉｒ、伧ｒｔｅｘｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙｆｏｌＩａｗｓｐ。Ⅵｒｅｒ—ｌａｗｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｈａｖｉｎｇｏｎｌｙａｆｅｗ；ｏｆｈｉｇｈ—ｃｏｎｎｅｃｔｉＶｉｔｙｖｅｒｔｉｃｅＳ，ｂｕｔａｇｒｅａｔｄｅａｌｏｆ１０ｗ—ｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙｖｅｒｔｉｃｅＳｉ码ｎｅｔｗ。ｒｋ．Ｉｎｔｈｅｐ印ｅｒ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓｂｅ—
ｔｗｅｅｎｃＯｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ’ｔｏ叫ｐｇｉｃｅｎｔｒｏｐｉｅｓａｎｄｔｈｅｉｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｒｅ
Ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆ］∞ｍｖｉｅｗｐｂｉｎｔｓ
ｏｆ
ｓｙｓ—
ｔｅｍｏｐｅｎｉｎｇ，ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓｔａｔｅ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎａｎｄｓｔ。ｃｈａＳｔｉｃｎｕｃｔｕａｔｉｏｎ，ｃｏｍｐｌｅｘ
ｎｅｔ—
ｗｏｒｋ’ｓｔｏｐＯ＿ｌｏｇｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅＳａｒｅｄｉｓｃｕｓＳｅｄ．Ｉｔｉｓ∞ｎｃｌｕｄｅｄｔｈａｔｔｈｉｓｉｓｄｕｅｔｏｔｈｅｒｅｓｕｌｔｏｆｓｙｓｔｅｍｓ’ｓｅｌｆ—
ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｅ、℃ｌｕｔｉｏｎｐｒ（）ｃｅＳＳ．
ＫｅｙｗｏＩ诅ｓ：∞７扎ｐＺ￡ｚ点３塔￡Ｐｍｓ；∞优ｐＺｅｚ扎ｅ芒伽扇；ｓｃｎ跆—了锄竹甜钆Ｄ扇；靶玎一ｏｒｇａ咒ｉ２舡ｆｉｏ规
复杂网络作为复杂系统研究领域的一个分支，近年来得到科学界前所未有的关注，网络研究的新成果不断地在一些学术刊物上发表．网络化的研究方法将现实复杂系统中的研究对象的元素抽象为节点，将元素之间的关系抽象为网络中的边．根据不同的研究对象，可在网络中对节点加入点的适应度、点权重，边的有向性、边权重等来进一步刻画系统．本文将万维网、基因遗传网络、作者引文网等多种系统描述为具有复杂拓扑结构的网络．例如，在万维网中，节点就是网页，边就是网页之间的链接；在巨大的基因网络中，节点就是蛋白质中的基因，而边就是基因之间序列的相互作用；在社会科学系统中，节点为个人或组织机构，边代表他们之间的各种经济、政治和社会关系［１Ｉ．通过将这些元素数量庞大、关系错综复杂的系统用网络拓扑来描绘，使我们有可能从宏观的角度了解这些系统的动态特性和拓扑结构的稳定性．从拓扑结构角度认为复杂网络具有两个特点，
收稿日期：２００４一１２—１３基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０３７１０７０／Ｇ０１１６）；上海市重点学科建设资助项目（７０５０２）作者简介：杨建民（１９７６一），男，硕士研究生．
万方数据４１４上海理工大学学报２００５年第２７卷一是研究对象的规模庞大，应该更多地从宏观统计物理的角度去研究；二是系统元素之间的关系抽象化，可以研究系统的一些普遍特性．对于现实世界各种复杂系统的网络不仅要得到一个静态的拓扑结构，更需要从演化角度得出各种复杂系统的共性．本文考虑网络拓扑的一个参量，节点度分布．通过对数据库的研究，将现实世界的复杂系统转换为规模庞大的复杂网络，可以得到网络中的一个节点与其他忌个节点相连接的概率，或称节点连通度声（忌）．许多系统中的节点连通度按幂律衰减，服从声（忌）＝忌一分布，式中，ｒ称为幂指数，是个常数．这种分布表明网络中只有少量节点具有高连通度，而大量的节点具有低连通度［２｜，这个结论即为大型网络的标度性．导致各个领域中的不同系统在网络拓扑性质中显露出这种一般特性的内在机制，以及这种特性是否是系统演化的自组织过程的结果值得我们去探讨．１复杂网络的网络拓扑熵热力学理论指出，只有开放系统才能具有发展潜力，才能白发组织起来向更有序的状态发展［３￣５Ｊ．大多数现实世界中的系统是开放的，对应的网络也是开放的，通过不断地增加新元素到系统中而构成大型复杂网络，系统元素的增加贯穿于系统的整个生命周期．例如，从万维网的发展历程可以看到新的网页增加随时间而呈指数增长，演员合作网络是通过不断添加新的演员来实现系统的增长，科研引文网络是通过不断地发表新论文而不断增长的．可见这些系统通过获得新节点而不断地增长，系统具有开放性，并且是不断地发展的．１．１开放系统的熵从自组织理论的观点，系统的开放性是耗散结构运动自组织的首要条件【３０ｊ．耗散结构是指远离平衡态的开放性系统，通过不断地与环境交换物质、能量以及信息，从混沌无序的状态转变为一种结构功能上新的有序状态．对系统的有序程度进行描述，分析有序程度变化的原因和机制是自组织理论研究的关键所在．按照系统科学理论，系统的开放性可从系统的熵ｓ的变化来分析．一个开放系统的熵值变化△Ｓ可分为△Ｓｉ和△Ｓ。两部分△Ｓ＝△Ｓｉ＋△Ｓ。（１）式中△Ｓｉ——由于系统内部原因使系统的熵值发生变化，恒有△Ｓｉ＞Ｏ△Ｓ。——由于环境与系统的相互作用导致系统的熵值发生变化开放系统要从无序状态向有序状态转变，也就是要使整个系统的熵变小，即△Ｓ＝△Ｓｉ＋△Ｓ。＜０（２）式中，△Ｓ。＜Ｏ，且ｌ△Ｓ。Ｉ＞△Ｓｉ．由此可见系统要形成稳定有序的自组织结构，必须在与环境的物质、能量以及信息的交换中，让外界输入的负熵流大于系统内部自发产生的熵，使系统的熵减少，系统向有序方向转化Ｌ３１．
１．２网络拓扑熵在无标度网络中存在极少数具有大量连接的中枢节点和大多数具有少量连接的节点，这样的网络是不均匀的，表现在节点连通度分布上，就是度分布的曲线呈递减形态．熵是系统的一种无序的度量．如果网络是随机连接的，各个节点的重要度大致相当，则认为网络是无序的．反之，如果网络是无标度的，网络中有少量的具有高连通度的中枢节点和大量的具有低连通度的节点，节点的重要性程度存在差异，可以认为这种网络是有序的．网络拓扑熵是由连通度分布确定的，但是，拓扑熵可以更简洁地度量复杂网络的序状态．假设网络中节点ｉ的重要度Ｌ为，三ｔ＝忌ｉ／乙志ｉ（３）
它满足条件∑，ｉ＝１，ｉ＞ｏ（４）
根据熵的基本定义给出网络的拓扑熵Ｈ＝一∑ＬｌｎＪｉ（５）
由式（４）可知Ｌ：１一莹Ｌ（６）
若令嚣’０＇则嚣＝最卜静ｎＬ一（１一荆·
·ｎ（１一蓦Ｌ）］＝一－ｎＬ＋·ｎ（１一蓦Ｌ）＝。ｉ＝１，２，…，咒一１（７）式中咒——网络规模，即节点数
解得Ｌ＝Ｌ妻Ｌ：咒Ｊ。：１（８）
万方数据第５期杨建民，等：复杂网络演化的自组织现象４１５酌舞一丢一恚妯聪
Ｈ一＝ｌｎ咒（９）当网络节点边连接完全均匀，即厶＝ｌ／咒时，Ｈｎｌａ）【＝ｌｎ竹．当网络中所有节点都与某一个中枢节点相连时，网络最不均匀，网络结构熵最小，即ｆ土ｉ：１，２，…，竹一ｌｔ＝≯１－Ｄ一’’’”１（１０）【ｉ２咒可得‰。一丢·ｎ丢一蓦嘉与·ｎ嘉ｂ＝厶厶ｉ＝】厶＼儿上／厶＼，‘上／丢１ｎ４（竹－１）１．３网络拓扑熵的变化（１１）根据上面的推导，从理论上得到复杂网络的拓１扑熵介于÷ｌｎ４（卵一１）～ｌｎ咒之间，可以从宏观角度Ｚ根据网络拓扑熵值来讨论复杂系统的序变化．在相同规模和相同的节点平均度条件下，均匀分布网络、规则网络、随机网络及无标度网络分别服从不同的度分布，它们的拓扑熵处于不同水平，如图１所示．无标度网络相对于节点度均匀分布网络、规则网络和随机分布网络而言，其网络拓扑熵值较小，则相对而言其系统有序程度较高．网络类型图ｌ各种类型网络拓扑的熵值分布情况Ｆｉｇ．１ＥｎｔｒＯｐｙｄｉｓ研ｂｕｔｉｏｎ０ｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｌｌｔｎｅｔｗｏｒｌ【ｓ２复杂网络的自组织演化把系统描述成网络拓扑后，系统与环境的物质、能量及信息交换转化为网络中节点按照某种简单的机制与新节点连接、网络内节点之间的边的断开或重联，使网络中节点的度分布发生变化，也就是系统中的新元素与系统中的原有元素发生相互作用，使系统远离平衡态，向有序方向发展．可以对现实网络进行观察，对于演员合作网络，一名新演员最有可能与一名比较有名的演员合作而扮演配角，从另外一个角度来看，出名的演员由于片约多，因而与新演员合作的概率大．同样对于万维网来说，一个新的网站往往包含了许多内容相关的流行网站的链接，一个新建网页包含知名的网页的超链接．对引文网，一篇新论文引用相关领域的知名论文的概率要比引用不知名的论文的概率大．以上的例子可以说明新节点连接到网络中现有节点的概率是有差异的，对新节点来说，它具有择优连接的本质特性，对网络中的节点来说，具有竞争获得连接的特性，也就是连通度越大的节点获得新节点连接的概率越大，类似于社会网中富者愈富的现象．网络中节点不断增长和择优连接的内在机制还原到现实世界系统中，可体现为能量、物质以及信息在外部环境与系统之间的流动，并不断地促使系统远离平衡态．从以上分析可以发现，这些网络演化规则不仅包括了随机性，而且具有适应性，是促使系统远离平衡态，不断地向有序的方向发展的内在机制．竞争是系统的另一个重要方面，并不是所有的节点都能同样成功地获取连接【６Ｊ．大量事例表明，在现实系统中一个节点的连通性和增长率不单独依赖于它的年龄．例如，在社会系统中，一些人比其他人更善于把一次随机的相遇变成一种持续的社会联系．在万维网中，一些网站把新颖的内容和市场需求相结合，在短时间内获取大量连接，轻而易举地战胜了一些老网站．一些研究论文在短期内获得大量引用．把这些不同之处（如个人的社交技能、网页的内容或科技论文的内容）与节点的一些本质特性联系起来，不但体现了个体的差异、不平衡性，而且强调了不平衡的个体之间存在的相互作用、相互联系及相互排斥的关系，更能体现系统元素之间的竞争关系．在系统中也可观察到涨落现象，一个新的具有高适应度的节点连接到系统后，在很短时间内会获得大量连接，促使原先处于平衡态的系统发生偏离，这种偏离使复杂网络演化不断地向有序方向发展．组成系统的系统元素之间存在着相互作用，一般而言，这些相互作用不满足叠加性，因而根据系统元素相互作用而构成的大型网络是非线性的．新节点加入网络时的择优连接机制可以反映为网络中节点通过连通度的大小来竞争获得新节点的连接．这