xyz 1 2 xy 2 R z 3 5 2 3 R R z R
3F yz 2 3Fy yz zy 5 cos 2 2 R 2 R3
3F xz 2 3Fx zx xz 5 cos 2 3 2 R 2 R
P
0.1P 0.05 P 0.02 P 0.01 P
F
球根 应力 球根
在地表面作用集中力F＝200kN，计算地面下深度z＝3m 处水平面上的附加应力σz分布及距F作用点r＝1m处竖直面上 的附加应力σz分布。 z=3m
r=1m
多个竖向集中力及不规则分布荷载作用
Fn 1 F1 F2 z 1 2 2 2 n 2 2 z z z z
查表3.1 集中力作用下的 地基竖向应力系数
F o αr x
R M’
F z 2 z
y
θz
M
x
3 1 2 5/ 2 2 [1 (r / z ) ]
特点 1.应力呈轴对称分布
y
0.5 0.4
z
α
0.3
0.2 0.1 0
0.5 1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
r/z
F z 2 z
荷载条件
竖直中心 P 矩 形 基 础 形 状 B L
竖直偏心 P
x y o B L
倾斜偏心
P B L
条 形
P’ B
P’ B
P’ B
中心荷载作用下的基底压力
取室内外平 均埋深计算 G= GAd
若是条形基础， F,G取单位长度 基底面积计算
F G p A
偏心荷载作用下的基底压力
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
荷载条件 基底压力
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构 等
基底压力分布
弹性地基，完全柔性基础
弹性地基，绝对刚性基础
基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大 砂性土地基 粘性土地基
— — — —
接近弹性解 马鞍型 抛物线型 倒钟型
实用简化计算
l
z
z ( p, m, n)
z c p
z
M
m=l/b, n=z/b
z
l z b b
c F ( , ) F (m, n)
查表3.4 均布矩形角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
a.矩形面积内 z ( cA cB cC cD ) p
四. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z 0 p
0 F ( z / r0 )
r0--圆形面积的半径
z r p
r F ( z / r0 )
查表3.7
五. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解Fra bibliotek基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基底反力 基底压力 影响因素 计算方法 分布规律
附加应力
地基沉降变形
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
一. 影响因素
•大小 •方向 •分布
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
天然地面
h1
1 2 3
水位面
1 h 1
h2
1 h 1 + 2 h 2
h3
1 h1 + 2h2 + 3h3
3. 地下水位以下，若埋 藏有不透水层，由于不透 水层中不存在水的浮力， 故层面及层面以下的自重 应力应按上覆土层的水土 总重计算。紧靠上覆层与 不透水层界面上下的自重 应力有突变，使层面处具 有两个自重应力值。
P B
矩形面积双向偏心荷载
x
ey ex
L
y
倾斜偏心荷载
P
v
P Ph
分解为竖直向和水平向荷载， 水平荷载引起的基底水平应 力视为均匀分布。
基底附加压力——基底净压力
基底附加压力：由建筑物建 造后的基底压力中扣除基底 标高处原有的自重应力后， 新增加于基底的压力。
p0 p cd p 0d
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
B
A
C
h
b.矩形面积外
D
i
d
g f
a
z ( cbegh cafgh ccegi cdfgi ) p
b
c
e
c.矩形面积边缘线上
z ( cI cII ) p
I
II
IV
II
d.矩形面积边缘线外侧
z ( cI cII cIII cIV ) p
e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmin=0
pmax
e>l/6
pmin<0
基底压力重分布
pmax
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F G pmax 3 e b 2 2
pmax
2F G l 3 e b 2
天然地面
cz z
cz
σcz= z
cz
cx
z
cy
1 1
z
2.成层土的竖向自重应力计算
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1 n
说明：
1. 地下水位以上土层采 用天然重度，地下水位以 下土层采用有效重度； 2. 非均质土中自重应力 沿深度呈折线分布；
自重应力和附加应力（新增应力） 。
特点：一般自重应力不产生地基变形（新填土除 外）；而附加应力是产生地基变形的主要原因。
概述
有效应力：由土骨架传递或承担的应力
孔隙应力：由土中孔隙水承担的应力 静孔隙应力与超孔隙应力 自重应力：由土体自身重量所产生的应力
附加应力：由外荷载(建筑荷载、车辆荷载、 土中水的渗流力、地震作用等)的作用，在土 中产生的应力增量。
土力学
第三章 土中应力计算 主讲教师：张成兴
第三章 土中应力计算
3.1 土的自重应力 3.2 基底压力 3.3 地基附加应力 3.4 有效应力原理
概述
地基变形的原因是由于土体具有可压缩性的内 在因素和地基受到附加压力的作用的外在因素。
为了计算地基沉降以及对地基进行强度与稳定
性分析,必须知道土中应力分布。土中应力包括土的
III
I
三. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
z
b
0
d
0
l
z
z ( p0 , m, n)
l
dP
p0
z t p0
l z t F (b, l , z ) F ( , ) F (m, n) l b
b
z
M
x
z
查表3.6
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
布辛奈斯克（J. Boussinesq）解
o
F
α
x R
x
r
M’ θ z M
y
z
zx
xy
x
y
y yz
z
R2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
r / z tg
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
基底压力的 分布形式十 分复杂 根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地 基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范 围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布 关系不大，而只取决于荷载合力的大小、方向和位置。
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布
基础形状与荷载条件的组合
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n