§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为(2-60)因为(2-61)由欧拉公式(2-62)有(2-63)分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为(2-64)同时，余弦信号的拉氏变换为(2-65)常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。
表2-1常见函数的拉普拉斯变换表三、拉氏变换的一些基本定理(1)线性定理若函数的拉氏变换分别为，则(2-66)(2)延迟定理若函数的拉氏变换为，则(2-67)信号与它在时间轴上的平移信号的关系见图2-18所示。
该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。
应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。
例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。
解：该信号为周期信号。
因此，已知信号第一周期的拉氏变换为时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，锯齿波信号的拉氏变换为(3)衰减定理若函数的拉氏变换为，则(2-68)该定理说明了时间信号在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。
当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。
例2-10试求时间函数的拉氏变换。
解：因为正弦函数的拉氏变换为所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。
(4)微分定理若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉氏变换为(2-69)(2-70)…………(2-71) 当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即则(2-72)(2-73)…………(2-74)证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证) 由拉氏变换的定义式利用分部积分公式令则所以证毕。
(5)积分定理若函数的拉氏变换为，则(2-75)定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。
式中为函数的在时刻的积分值。
积分定理与微分定理互为逆定理。
(6)初值定理若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则(2-76)即时域函数的初值，可以由变换域求得。
证明由微分定理令即可证得。
注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为，而不是或者。
例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为(7)终值定理若函数的拉氏变换为，且存在，则(2-77)即时域函数的终值，也可以由变换域求得。
证明：由微分定理两边对取极限因为，所以方程左边方程右边所以证毕。
(8)卷积定理若时域函数分别有拉氏变换，时域函数的卷积分为(2-78)又常表示为(2-79)则其拉氏变换为(2-80)这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。
证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。
一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。
常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表四、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换将时域函数变换为复变函数，相应地它的逆运算可以将复变函数变换回原时域函数。
拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。
由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为(2-81)上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。
所以已知反求时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号，它的拉氏变换都是s的有理分式。
因此，可以将分解为一系列的有理分式之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项所对应的时域函数，合成时域函数。
上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。
拉氏变换通常为s的有理分式，可以表为(2-82)式中，是分子多项式，是分母多项式，系数和均为实数，，为正整数，而且。
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程，其所有的解称为的极点。
这样可以表示为(2-83)由复变函数的留数定理，可以确定的各分式，求得拉氏反变换为(2-84)下面分别讨论各种计算情况。
1．全部为单根可以分解为(2-85)其中(2-86)为复变函数对于极点的留数。
则拉氏反变换为(2-87)例2-11 已知：，求拉氏反变换。
解：将分解为部分分式极点为：，则对应极点的留数为则分解式为查拉氏变换表可得2．有重根只考虑一个单根情况，设为单根，为重根，，则可以展开为(2-88)式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。
与重根相对应的各系数，，由留数定理可得计算公式如下：(2-89)…………(2-90)因为所以，拉氏反变换为(2-91)例2-12求的拉氏反变换。
解：可以分解为系数C1，C2，分别对应单根，，由前述单根情况计算为系数分别对应二重根s3=-1于是，的分解式为查表求得拉氏反变换为3．A(s)=0有共轭复数根时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根(互不相同)来看待。
但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。
拉氏变换中有如下的变换对：上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。
所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。
例2-13已知，试求其拉氏反变换。
解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为第三步，写出拉氏反变换。
因为所以五、拉氏变换法求解微分方程列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。
微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。
采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。
拉氏变换法求解微分方程步骤如下：(1)方程两边作拉氏变换。
(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。
(3)写出输出量的拉氏变换。
(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。
例2-14 滤波电路如图2-19所示，输入电压信号，电容的初始电压分别为0V和1V时，分别求时域解。
解：RC电路的微分方程为方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理得由拉氏变换的微分定理得将系统参数值带入整理得输出的拉氏变换为（1）时，（2）时，§2-4 传递函数前面讲述了线性定常系统的微分方程，它是一种时域描述，是以时间t为自变量对系统进行分析的，根据所得的微分方程，求微分方程的时域解，也就获得了系统的运动规律。
但是，基于时域的微分方程用于控制系统的分析与设计时，在使用上有诸多不便，如系统内部结构不明确、微分方程求解麻烦等。
传递函数是变换域描述系统的一种数学模型。
是以参数来表示系统结构的，因此又称为系统的参数模型。
传递函数是基于拉氏变换而得到的。
拉氏变换将时域函数变换为复频域函数，简化了函数，同时将时域的微分、积分运算，简化为代数运算，方便了工程分析和计算，所以得到普遍的应用。
一、传递函数的定义设描述线性定常系统的微分方程为(2-92)式中，为输出变量的各阶导数，为输入变量的各阶导数，为输出变量各阶导数的常系数，为输入变量的各阶导数的常系数。
令所有的初始条件全部为0，即(2-93)(2-94)将方程两边作拉氏变换，得(2-95) 得到输出信号的拉氏变换为(2-96)则定义输出变量拉氏变换与输入变量拉氏变换的比值为系统的传递函数，用表示，即(2-97)则系统输出函数为(2-98)即对应于时域中的卷积积分。
二、传递函数的性质1．传递函数只适用于线性定常系统由于传递函数是基于拉氏变换，将原来的线性常系数微分方程从时域变换至复频域得到的，故仅用于描述线性定常系统。
2．传递函数是在零初始条件之下定义的，因此，它表示了系统内部没有任何能量储存条件下的系统描述，即。
如果系统内部有能量储存，将会产生系统在非零初始条件下的叠加项，即(2-99)例2-15 RLC网络如图2-21所示：(1)求传递函数。
(2)当时，写出输出响应。
解：(1)系统的微分方程为令所有初值为零，方程两边作拉氏变换，上式各线性叠加项的拉氏变换为,得到系统的传递函数为(2)当时，将微分方程两边带初值作拉氏变换得整理得输出响应的拉氏变换为即式中即为非零初始条件下的叠加项。
3．传递函数是可以有量纲的传递函数的物理单位由输入、输出的物理量的量纲来确定。
如力学系统其传递函数的物理单位可以为[米]／[牛]，也就是作用力产生位移的刚度系数。