第四版 数值分析习题

第一章 绪 论 1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差. 2. 设x的相对误差为2％,求nx的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx其中****1234,,,xxxx

均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y按递推公式

11783100nnYY ( n=1,2,…)

计算到100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差? 7. 求方程25610xx的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求211Ndxx 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

10. 设212Sgt假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列{}ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6(21)f,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 363

11,(322),,99702.(21)(322)



13. 2()ln(1)fxxx,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

22ln(1)ln(1)xxxx

计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积1sin,2sabc其中c为弧度,02c,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.abc证明面积的误差s满足

.sabcsabc

第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 2000011211121()(,,,,)11n

nnnnnnnnxxxVxVxxxxxxxxxx



证明()nVx是n次多项式,它的根是01,,nxx,且 101101()(,,,)()()nnnnVxVxxxxxxx.

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max()xxxlx. 6. 设jx为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) 0()(0,1,,);nkkjjjxlxxkn ii) 0()()1,2,,).nkjjjxxlxkn 7. 设2(),fxCab且()()0fafb,求证21()()().8maxmaxaxbaxbfxbafx 8. 在44x上给出()xfxe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若2nny,求4ny及4ny. 10. 如果()fx是m次多项式,记()()()fxfxhfx,证明()fx的k阶差分()(0)kfxkm是mk次多项式,并且()0(mlfxl为正整数).

11. 证明1()kkkkkkfgfggf. 12. 证明1100100.nnkknnkkkkfgfgfggf 13. 证明1200.njnjyyy 14. 若1011()nnnnfxaaxaxax有n个不同实根12,,,nxxx,证明 10,02;,1.1()nknjknaknjjxfx







15. 证明n阶均差有下列性质: i) 若()()Fxcfx,则0101,,,,,,nnFxxxcfxxx; ii) 若()()()Fxfxgx,则010101,,,,,,,,,nnnFxxxfxxxgxxx. 16. 74()31fxxxx,求0172,2,,2f及0182,2,,2f. 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18. 求一个次数不高于4次的多项式()Px,使它满足(0)(1)PPk并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()Px,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.

20. 设(),fxCab,把,ab分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx

并证明当n时,()nx在,ab上一致收敛到()fx. 21. 设2()1/(1)fxx,在55x上取10n,按等距节点求分段线性插值函数()hIx,计算各节点间中点处的()hIx与()fx的值,并估计误差. 22. 求2()fxx在,ab上的分段线性插值函数()hIx,并估计误差. 23. 求4()fxx在,ab上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:

jx 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53

jy 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值()Sx并满足条件 i) (0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS ii) (0.25)(0.53)0.SS

25. 若2(),fxCab,()Sx是三次样条函数,证明

i) 222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx; ii) 若()()(0,1,,)iifxSxin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则()()()()()()()()()baSxfxSxdxSbfbSbSafaSa

.

26. 编出计算三次样条函数()Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()Sx可用(8.7)式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为,ab的伯恩斯坦多项式. (b)对()sinfxx在0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当()mfxM时,(,)nmBfxM. (b)当()fxx时,(,)nBfxx. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin4fxx在0,2的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()fx在,ab上连续,求()fx的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a,使301maxxxax达到极小,又问这个解是否唯一? 6. 求()sinfxx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7. 求()xfxe在0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()pxxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一? 9. 设43()31fxxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令()(21),0,1nnTxTxx,求***0123(),(),(),()TxTxTxTx.

11. 试证*()nTx是在0,1上带权21xx的正交多项式. 12. 在1,1上利用插值极小化求11()fxtgx的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xfxe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()nLx,若nfL有界,证明对任何1n,存在常数n、n,使 11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx

14. 设在1,1上234511315165()128243843840xxxxxx,试将()x降低到3次多项式并估计误差.

15. 在1,1上利用幂级数项数求()sinfxx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()fx是,aa上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,()fx的最佳逼近多项式*()nnFxH

也是奇(偶)函数.

17. 求a、b使220sinaxbxdx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较. 18. ()fx、1(),gxCab,定义