Brouwer度的性质及的应用拓扑度理论是由L.E.J.Brouwer在1912年创立的。

L.E.J.Brouwer所创立的拓扑度是针对有限维空间中的连续映射，现在称之为Brouwer度。

组合拓扑学的奠基Brouwer于二十世界初提出的一个重要概念，Brouwer 通过引入一个复形到另一个复形的映射类和映射的度[1]（即现在的Brouwer度）这些概念，能够第一次处理所谓一流形上的向量场的奇点，同时利用组合的办法，还得到了注明的Brouwer不动点定理。

这些定理有深刻的几何意义，又在分析学中有着重要的应用，尤其是在处理非线性算子方面，拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具[2]，利用它可以推导出许多著名的不动点定理。

后来，经过许多作者的努力，将其整个理论建立在不同的基础上，现在较为普遍也较为容易接受的方法是以分析为基础来建立的，它的推到步骤是先对简单的映射和区域定义度数，然后用简单的映射逼近一般映射，用简单的区域逼近一般的区域。

随着非线性泛函分析理论体系的形成，到1934年，J.Leray和J.Schauder将Brouwer度的工作推广到Banach空间中的全连续场，从而使拓扑度理论在偏微分方程的研究中发挥了重要的作用。

Leray和Schauder关于全连续场的拓扑度成为Leray-Schauder度，继Leray-Schauder的工作之后，拓扑度在理论和应用两个方面都得到了长足的发展。

人们应用拓扑度理论得到了局部分定理，大范围分歧定理，以及各种不动点理论。

拓扑度在理论上的发展主要是针对不同的映射类建立拓扑度，概括起来大致有两种情况：一种是保持拓扑度的基本性质，只是讨论对象有了改变，第二种推广是度数以不在保持原有的某些性质，只保持拓扑度理论中的某些基本原则和结论。

人们在实Banach空间上建立了非紧性测度，录用非紧性测度给出了一类比全连续场更广泛的映射---严格集压缩映射和凝聚映射，并建立了拓扑度。

另外一方面，在实Banach空间上建立逼近格式，然后引入A-Proper映射的概念，对A-proper映射建立广义拓扑度概念， A-proper映射的拓扑度不再是整数，而是一个整数集合，它只保持拓扑度理论的一些基本原则。

利用A-Proper 映射的广义拓扑度又引入实可分Hilbert空间中的连续单调映射的拓扑度，极大单调映射与广义伪单调映射之和的拓扑度，并由此获得相应的满射性定理。

接下来我们将介绍Brouwer 度的定义和性质。

1. Brouwer 的定义和性质1.1.1 Brouwer 度的定义定义 1.1 [3] 设 Ω 是n R 中的有界开集， :n f R Ω→， f 是2C 的映射（即）()()11,...,,,...,n i n xf f f f x x =在Ω上具有连续的二阶偏导数1,2,...,i n =），()\n p R f ∈∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω=->， 作连续函数[):0,R Φ+∞→，使它满足下面两个条件：(a) 存在*,δτ， 满足*0δττ<<≤。

且当()*,r δτ∉时，恒友()0r Φ=；(b) ()||||1n R z dz Φ=⎰。

定义拓扑度()deg ,,f p Ω如下：()()()()deg ,,||||f f p f x p J x dx ΩΩ=Φ-⎰， (1) 其中()f J x 表示f 在点x 的Jacobin 行列式()()()11,...,,...,n i f n jD f f f J x D x x x ∂==∂。

注 1.1 满足上述条件（a ）（b ）的连续函数Φ是很多的， 所以要证明上述定义的合理性，必须要证明按（1）式定义的()deg ,,f p Ω不随函数Ω的选取而变， 还要证明()deg ,,f p Ω是一个整数。

以上的度数定义是针对2C 映射的， 接下来我们要用Sard 定理将2C 映射过度到连续映射，为了定义的完整性， 我们将给出Sard 定理， 它的证明可参见[3]。

定理 1.1 [3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→是1C 映射， 令(){}:,J 0f f N x x x =∈Ω=使得， 则f N 在映射f 下的象()f f N 是n R 中的Lebesgue 测度为零的集。

现在用Sard 定理和小摄动不变性， 将定义1.1中的对2C 映射定义的拓扑度推广到一般的连续映射， 从而得到Brouwer 度的定义。

定义1.2[3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→连续， ()p f ∉∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω=->，令 ()()|:max ||f ||n n x T g g R x g x τ∈∂Ω⎧⎫=Ω→-<⎨⎬⎩⎭是C 映射，且，可以证明T 不定， 对g T ∈， 有()()()()||||||||||f ||0g x p f x p x g x -≥--->， 因此，()\n p R g ∈∂Ω，g T ∀∈，于是根据定义1.1， ()deg ,,f p Ω有意义。

规定Brouwer 度()()deg ,,deg ,,,f p g p q T Ω=Ω∀∈。

住1.2 要使定义1.2合理，必须证明：当12,g g T ∈ 时， 恒友()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω。

令()()01deg ,,deg ,,,h p h p Ω=Ω从而()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω1.1.2 Brouwer 度的性质接下来，我们讨论Brouwer 度的基本性质， 这些性质不仅是拓扑度理论的重要组成部分， 而且可以直接帮助我们研究和解决具体的非线性问题。

定理 1.2[3]Brouwer 度具有以下性质：（a ）（正规性）()deg ,,1,,I p p Ω=∀∈Ω 其中I 表示恒等算子。

（b ）（可加性） 设12,ΩΩ是Ω的两个互不相交的开子集， 并且()12\p f ∉ΩΩ⋃Ω，则()()()12deg ,,deg ,,deg ,,f p f p f p Ω=Ω+Ω。

（c ）（同伦不变性） 设[]:0,1n h R ⨯Ω→连续， 令()(),t h x h t x =， 若()[]\,0,1n t p R h t ∈∂Ω∀∈， 则()deg h ,,t p Ω保持常数（对于01t ≤≤）。

（d ）（可解性）（Kronecker 存在定理）若()1deg ,,0f p Ω≠， 则方程()f x p =在Ω内有解。

（e ）（切除性）设0Ω是Ω的开子集， 并且()0\p f ∉ΩΩ， 则()()0deg ,,deg ,,f p f p Ω=Ω。

（f ）（平移不变性）若()\n p R f ∈∂Ω， 则()()deg ,,deg ,,f p f p θΩ=-Ω， 其中f p -表示映射()f x p -， θ表示n R 的零元。

2.1 Brouwer 的一些应用和发展在文章[4]中，作者研究了关于H-连通空间及Brouwer 度的一些研究，文章主要是研究了关于Brouwer 度不变性的简化证明，其简化之处在于当考虑对定义域的复形K 或像复形L 的一般重分，而不一定是重心重分，即只对一部分单形重分，而不是同时对所有单形进行重分，或者可以视为逐步将所有单形重分。

这样的优越之处在于利用必链重分之后的依然为必链，而使得重分部分单形之后其像的系数与为重分的单形的像有相同系数，即拓扑度不变。

而不依赖于11d d -=这个式子，使得证明得以简化并且直观化。

这样的证明是对一些经典教材关于该定理证明的有益补充。

Brouwer 在经济上也有所应用，在文章[5]中，作者就利用Brouwer 度来研究了最有消费与投资高维REC 模型的求解方法。

应用Brouwer 度和最大值原理研究在预知由真实技术冲击引发的经济短期波动和期末人均资本存量不小于期初资本存量的条件下,对终端时刻固定的高维离散系统给出其解的存在性条件以及最优控制应满足的必要性条件.在文章[6]中，模糊紧场的拓扑度被研究。

1959年Granas 和Jaworowski 开始研究Banach 空间中的多值映射的拓扑度理论，提出了集值紧场和集值同伦的概念， 并且利用Vietories 同伦论把经典的Brouwer-Leray-Schauder 度理论从单值映射推广到多值映射， 取得了一些成果，但是要求把多值映射的定义域限制在Banach 空间的单位球上。

1972年T.W.Ma 提出了集值紧场的另一种定义， 并且把单值紧场的拓扑度理论推广到分离的局部凸空间中的集值紧场上，形成了集值紧场的拓扑度理论。

两年后W.VPetryshyn 和P.M.Fitzpatrick 推广了集值紧场的拓扑度理论， 提出了非紧性集值映射的定义，并给出了它的拓扑度。

经过几十年的发展，拓扑度理论以相当完善，它是研究非线性算子定性理论的有力工具，已成为非线性分析不可缺少的一部分。

自1965年Zadeh提出模糊集的概念以来，到现在模糊数学理论已有很大的发展，并已渗透到许多重要的数学领域，形成诸如模糊拓扑、模糊系统、模糊积分等许多新的数学分支，其发展速度超过了应用数学分支。

模糊数学作为一门新兴学科，它有着强大的生命力和广阔的发展前景，但是模糊数学从1965年发展到现在，才有近四十年的历史，它还没有成熟，许多领域的研究才刚刚开始，需要广达数学工作者的不懈努力，完善和壮大模糊数学，模糊数学的研究需要引入相关学科的研究方法，我们知道，拓扑度是非线性分析的主要研究方法之一，若在模糊数学中引入这一些方法，渴望为模糊数学提供一个全新的重要研究方法。

文章[7]研究的关于af的拓扑度及其应用，文中首先对n R中连续映射象进af a≠与f的Brouwer度之间的关系，得到了Brouwer度的几个等行讨论了()0式，顺便推导出几个不动点理论。

在此基础上研究了投影完备的实Banach空间p紧中A-proper映象f与a的广义拓扑度之间的联系。

作为应用，推广了关于1映象的Altman不动点定理。

[1] Petryshyn,P.M.,A new fixed point theorem and its application, Bull.Amer. Math.Soe.,78(1972),225一230.[2] Petryshyn,P.M.,Fixed points for various classes of1-set-contractiveand l-ball-contractive mapping in Banach spaces,Trans·Amer.Math.Soe.,182(1973),323-352[3] 郭大钧. 非线性泛函分析,济南:山东科学技术出版社、2002.[4]马訾伟. 关于H-连通空间及Brouwer度的一些研究[5]李伟，蔡华. 最有消费与投资高维REC模型的求解方法，吉林：吉林大学学报， vol 47. No1. 2009.[6]陈文亚. 模糊紧场的拓扑度[7]赵增勤. af的拓扑度及其应用，数学研究与评论， vol.11 no.4. 1991.。