企肥学院学粮（自然科学版） ２０１２年５月第２２卷第２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｍａｖ ２０１２ Ｖｏ１．２２ Ｎｏ．２
一个简单的钉螺控制的数学模型研究
胡雁玲 ，余力成
（１．合肥学院数学与物理系，合肥２３０６０１；２．中共潜山县委办公室，安徽安庆２４６３００）
摘要：通过建立一个关于单位面积钉螺变化率的数学模型，并对模型中的一些参数分两种不同的情况进行求 解．再利用数学软件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ对模型的各种解赋予实际的参考数据进行数值模拟，并对控制措施下的钉螺死 亡率ｋ的不同取值，得到相应的模拟图形，根据图形来探讨在不同的控制措施下钉螺数量的变化情况． 关键词：钉螺；血吸虫；数学模型；数值模拟；钉螺死亡率 中图分类号：０２９：Ｑ９５８．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—１６２Ｘ｛２０１２）０２—００２２—０３
Ａ Ｓｉｍｐｌｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｅ Ｓｎａｉｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ
ＨＵ ｒａｎ．１ｉｎｇ ．ＹＵ Ｌｉ—ｃｈｅｎｇ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１； ２．Ｏｆｆｉｃｅ，ＣＰＣ ＱｉａｎＳｈａｎ Ｃｏｕｎｔｙ，Ａｎｑｉｎｇ，Ａｎｈｕｉ ２４６３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｎａｉｌ ｏｎ ｔｈｅ
ｕｎｉｔ ａｒｅａ．ａｎｄ ｍｏｄｅ１ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｗｏ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔ ｐｏｉｎｔｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｒｅｕｓｅ ａ ｖａｒｉｅｔｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｎａｉｌ ｍｏｒｔａｌｉｔｙ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ，ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｎａｌｏｇ ｇｒａｐｈｉｃｓ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｇｒａｐｈ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅ
ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｎａｉｌｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｓｎａｉｌ；Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｉａｓｉｓ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｓｎａｉｌ ｍｏｒｔａｌｉｔｙ
血吸虫病是一种严重危害我国人民身体健康的主要寄生虫病，＿ｌ 血吸虫病的传播动态性依赖于从终
宿主到中间宿主的虫卵（毛蚴）流和从中间宿主到终宿主的尾蚴流这两种相互作用的随机流．钉螺是血吸
虫唯一的中间宿主．消灭钉螺是预防血吸虫感染最根本的措施，没有钉螺，就不会引起血吸虫病传播，因 此，消灭钉螺是消灭血吸虫病的重要环节． 继Ｈａｉｒｓｔｏｎ和ＭａｃＤｏｎａｌｄ之后，数学模型作为一种有力的工具在研究血吸虫病的控制方面已获得了 广泛的应用．Ｅ２－５￣钉螺有两种情况：一种是未感染的钉螺，另一种是感染钉螺，又称阳性钉螺．后一种钉螺
是指血吸虫尾蚴寄生在螺体随时可能逸入水中，进入人畜体内，使人畜感染上血吸虫病．所以要控制血吸
虫病，钉螺的控制起着关键性的作用，而控制钉螺的措施多为喷洒灭螺剂．在以前的有关钉螺的模型中都 将钉螺分为易感的和感染的，甚至还有潜伏期的．然而在实际灭螺的过程中，施工人员是不会区分这些，而
是一起控制．本论文的模型特点就是不去细分钉螺的类型，认为在控制措施下，所有钉螺都是一样的．因而
建立一个简单的控制钉螺的数学模型来研究血吸虫病是很有必要的．
１模型的建立与分析
设Ｓ为单位面积上钉螺的数量，单位时间内钉螺数量的变化率为：
ａｓｄ ＝Ｂ（ｓ）一Ｋ（５）－Ｒ・ｓ， （１）
收稿日期：２０１２—０３—２８ 作者简介：胡雁玲（１９５８一），女，四川兴文人，
合肥学院数学与物理系副教授 第２期 胡雁玲，等：一个简单的钉螺控制的数学模型研究 ２３
其中 （５）表示新增钉螺的数量．日（５）可取常量也可取线性函数，其意义是钉螺的出生率有两种情况：常
数出生率和线性出生率；Ｋ（Ｓ）表示因人工控制而死亡的钉螺．Ｋ（Ｓ）可取常数也可取线性函数，其意义是 钉螺控制率也有两种情况：常数控制率，不管钉螺多少人们都用同样浓度的药物灭螺；线性控制率，控制率
与钉螺量成正比，钉螺多就多用药，钉螺少就少用药；这里选取线性控制．Ｒ表示钉螺自然死亡率．模型可 通过如下两种分类方式进行求解．
分类一：取 （Ｓ）＝ｂ ，Ｋ（Ｓ）＝ｋＳ．
此时模型（１）变为： ＋（Ｒ＋ ）Ｓ＝ｂ，解微分方程如下：
Ｌ Ｓ＝ｅ一 （ｆｂ－ｅ “ ｄ ＋Ｃ１）＝ ＋Ｃ１ｅ－（Ｒ＋ｋ）ｔ， （２）
分类二：取Ｂ（Ｓ）＝ｂ２Ｓ， （Ｓ）＝ｋＳ．
此时模型（１）变形为： ：（ｂ：一Ｒ—ｋ）Ｓ，解微分方程如下：
Ｓ＝Ｃ２ｅ‘ 一 一 ． （３）
２数值模拟
２．１实际数据索引 首先需要说明的是，本模型中参数所需数据将从参考文献［６，７］中获取．安徽省（见参考文献［６］）有 钉螺无血吸虫病流行地区（简称“有螺无病地区”）曾进行过一项钉螺对日本血吸虫易感性的研究，为制定
该类地区血吸虫病防治策略提供依据．方法就是采集宁国市有螺无病地区钉螺４００只，随机分为２组，每 组２００只，以本省日本血吸虫毛蚴在实验室内进行钉螺群体感染，两组钉螺与毛蚴比例分别为１：２０和
１：４０，感染时间为４小时，感染时的温度为２４～２８℃．感染后将钉螺置于室内常温下饲养６Ｏ天，观察有螺 无病地区和有螺有病地区钉螺感染率和死亡情况．观察期结束时，在１：２０（钉螺／毛蚴）组中，有螺无病地
区钉螺与有螺有病地区钉螺死亡率分别为７７％（１５４／２００）和７４．５％（１４９／２００），两地钉螺死亡率无显著
性差异（ ＝０．６６１，Ｐ＞０．０５）；在１：４０（钉螺／毛蚴）组中，两地钉螺死亡率分别为８１％（１６２／５００）和 ７８％（１５６／２００），死亡率差异无统计学意义（ ＝０．５０７，Ｐ＞０．０５），由此可选取Ｒ＝０．３，ｂ ＝２００，ｂ ＝ ０．１５；方程初始条件为ｔ＝０时Ｓ＝６０．通过以上数据取 的值是ｋ＝０．７５．
２．２数值模拟一及分析 将已取参数数据代人（２）式，并对因人工控制而死亡的钉螺率 ＝０．７５上下各取两个不同的值，以便
加以比较：
ｋ＝０．５５，Ｃ】＝５９．８２：Ｓ１＝５９．８２ｅ ＋０．１８， （４）
＝０．７５，Ｃ ＝５９．８６：Ｓ ＝５９．８６ｅ ＋０．１４， （５） ｋ＝０．９５，Ｃ１＝５９．８６：Ｓ３＝５９．８８ｅ。。・ ＋０．１２． （６） 分别利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ软件对（４）、（５）、（６）式进行数值模拟． 由图１可看出在此分类下，当人们把控制措施下
的钉螺死亡率 分别取０．５５、０．７５、０．９５时，钉螺最 迟在５天左右基本死亡．由于分类一中 （５）取的是
线性函数，这表明此时人们是根据钉螺数量的变化而 调整灭螺手段的．图１还显示了当控制措施下的钉螺
死亡率ｋ取不同的参数时，钉螺的死亡时间几乎是一
致的，所以在此模型下人们可以不去考虑钉螺的数量 增加了多少，甚至可以减弱灭螺手段或暂时不控制，
等钉螺上升到一定数量时再进行控制，而且还可将ｋ 取得更小一点，同样可以达到一定的控制效果． １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
图１分类一下钉螺死亡率 分别取 ０．５５、０．７５、
０．９５时，钉螺最迟在５天左右死亡情况 合肥学院学报（自然科学版） 第２３卷
２．３数值模拟二及分析 将已取参数数据代入（３）式，并对因人工控制而
死亡的钉螺率ｋ＝０．７５上下各取两个不同的值，以便加以比较： ｋ＝０．５５，Ｃ２＝６０：Ｓ４＝６０ｅ一 “， ｋ＝０．７５，Ｃ２＝６０：Ｓ５＝６０ｅ一。・ ， ｋ＝０．９５，Ｃ２＝６０：Ｓ６＝６０ｅ一 Ｉｔ． 分别利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ对（７）、（８）、（９）式进行数值模拟．
图２说明，在此分类下当我们把控制措施下的钉 螺死亡率ｋ分别取０．５５、０．７５、０．９５时，钉螺最迟在６
天左右基本死亡．图２还显示了，当控制措施下的钉 螺死亡率ｋ取不同的参数时，钉螺的死亡时间几乎是
一致的，这就是说如果我们将ｋ取得更小一点话，并 不影响灭螺效果，既节省了灭螺成本同时也保护了
环境． 另外，我们可看出图２的灭螺结果与图１的灭螺
结果基本一致．不同的是，分类一中的钉螺是常数增
长，分类二中的钉螺是线性增长，虽说人们都是根据 钉螺的增长量来采取不同的控制手段，但其灭螺的效 果是基本相同的． （７）
（８）
（９）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
图２分类二下钉螺死亡率 分别取 ０．５５、０．７５、０．９５时，钉螺最迟在５天左右死亡情况
３ 结 语
血吸虫病的唯一的中间宿主是钉螺，所以要控制血吸虫病，钉螺的控制起着关键性的作用，而控制钉
螺的措施多为喷洒灭螺剂．在以往的有关钉螺控制的模型中都将钉螺分为易感的和感染的，甚至还有潜伏 期的．然而在实际灭螺的过程中，施工人员是不会区分这些而是一起控制的． 任何一个疾病控制模型都不可能是最优的，而且同样的疾病其控制模型也不是唯一的．本论文中所建
立的钉螺变化率的数学模型虽然比较简单，还有很多实际因素没有考虑到，但是我们还是可以得到比较实
际的一些结论，比如我们也给出了在不同控制率下，灭螺大致需要的天数以及相对合适的灭螺手段，这些 都为人们在实际灭螺的操作中提供一定的指导性的建议．
参考文献： ［１］李国光，杨璞娜．血吸虫病防治手册［Ｍ］．武汉：湖北科学技术出版社，２００９：１． ［２］钱珂．日本血吸虫病的数学模型简述［Ｊ］．血防科技，１９８３，４０（６）：１－１５． ［３］ Ｍａｃｄｏｎａｌｄ Ｇ．Ｔｈｅ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｈｅｌｍｉｎｔｈ Ｉｎｆｅｃｔｉｏｎｓ，ｗｉｔｈ Ｓｐｅｃｉａｌ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｏ Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｅｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ Ｒ Ｓｏｃ Ｔｒｏｐ Ｍｅｄ Ｈｙｇ，１９６５，５９：４８９－５０６． ［４］Ｗｏｏｌｈｏｕｓｅ Ｍ Ｅ Ｊ．Ｏｎ ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｅ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｔｒｏｐ，１９９１， ４９：２４１－２７０． ［５］ Ｗｉｌｌｉａｍｓ Ｇ Ｍ．Ｍａｔｈｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｉａｓｉｓ Ｊａｐｏｎｉｃａ：Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｐｅｏｐｌｅ’ｓ Ｒｅｐｕｂｌｉｃ ｏｆ Ｃｈｉｎａ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｔｒｏｐ，２００２，８２：２５３－２６２． ［６］操治国，汪天平，吴维铎，等．安徽省宁国市有螺无病地区钉螺对日本血吸虫感染性的研究［Ｊ］．热带病与寄生虫学， ２００７（３）：２２－２５． ［７］ Ｆｅｎｇ Ｚｈｉｌａｎ，Ｌｉ ＣｈｅｎｇＣｈｅ，Ｆａｂｉｏ Ａ．Ｍｉｌｎｅｒ；Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｉａｓｉｓ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｄｅｎｓｉｔｙ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ａｎｄ Ａｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｎａｉｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｂｉｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００２，１７７：２７１－２８６．
［责任编校：张永军］