一道高考试题的多种解法

2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题:

四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABC.已知45ABC,2AB,22BC,3SASB.

(Ⅰ)证明SABC;

(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成的角的大小.

第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列举几种第一问的证法:

证法一:过S作SOBC,垂足为O,连接AO（如图1）.

由侧面SBC底面ABCD得SO底面ABCD,AO、BO分别是SA、SB在底面ABCD内的射影.

又SASB,OAOB

又45ABC,ABO是等腰直角三角形,

OAOB.

由三垂线定理得SABC.

证法二:过A作AOBC,垂足为O,连接SO(如图1).

由侧面SBC底面ABCD得AO侧面SBC,SO是SA在侧面SBC内的射影,且,AOSOAOBO.

在ABO中45ABO,OAOB.又SASB,SAOSBO.

90SOBSOA即OBSO.

由三垂线定理得SABC.

证法三:连接AC,记BC的中点为O,连接AO、SO(如图2).在ABC中45ABC,2AB,22BC,ABC是等腰直角三角形, AOBC.(下同证法二)

证法四:连接AC,记BC的中点为O,连接AO、SO(如图2).在ABC中45ABO,2AB,22BC,ABC是等腰直角三角形, AOBC.

又侧面SBC底面ABCD,AO侧面SBC,SO是SA在侧面SBC内的射影.

在SAB中易得3cos3SBA. 又coscoscosSBASBCCBA6cos3SBC.

在SBC中由余弦定理得3SC,SOBC.

由三垂线定理得SABC.

证法五:过A作AOBC,垂足为O,连接SO(如图1).

由侧面SBC底面ABCD得AO侧面SBC,SO是SA在侧面SBC内的射影,且,AOSOAOBO.

在RtABO中45ABC,2AB,2OAOB.

在RtAOS中3,2SAAO,1SO.

在BOS中3,2SBBO,1SO,OBSO.

由三垂线定理得SABC.

证法六: 侧面SBC底面ABCD,SB在底面ABCD内的射影为BC.

在SAB中易得3cos3SBA.

又coscoscosSBASBCCBA6cos3SBC.

在SBC中由余弦定理得3SC.

记BC的中点为O,连接AO、SO(如图1),则SOBCSO底面ABCD,AO是SA在底面ABCD内的射影.

在ABO中45ABO,2AB,2BO,AOBO.

由三垂线定理得SABC.

证法七:作,SFABSEBC垂足分别为F、E,连接EFAC、、AE(如图3).

侧面SBC底面ABCD,SE底面ABCD.

EF、EA分别是SF、SA在底面ABCD内的射影,且EFAB.

由SASB得F是AB的中点,在ABC中45ABC,2AB,22BC,ABAC,EF∥AC.E是BC的中点,从而AEBC.

由三垂线定理得SABC.

证法八:作,SFABSEBC垂足分别为F、E,连接EFAC、、AE(如图3),侧面SBC底面ABCD,SE底面ABCD.

EF、EA分别是SF、SA在底面ABCD内的射影,且EFAB.

在SAB中1BF,在ABE中45ABC,1BFAFEF,AEBC

由三垂线定理得SABC.

证法九:过B作BEAD,垂足为E,连接SE(如图4),由45ABC,2AB得2AEBE,

又BEBC,侧面SBC底面ABC,BE侧面SBC.BESB.

在RtSBE中5SE,在SAE中5,3,2SESAAE,所以SAAE.

又AE∥BC,SABC.

证法十: 过S作SOBC,垂足为O,连接AO.

由侧面SBC底面ABCD得SO底面ABCD,AO、BO分别是SA、SB在底面ABCD内的射影.

又SASB,OAOB

又45ABC,ABO是等腰直角三角形, OAOB.

以O为坐标原点, OA为x轴正方向, OB为y轴正方向, OS为z轴正方向,建立空间直角坐标系(如图5),则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,1)ABCS,(2,0,1),(0,22,0)SACB,0SACB,SABC.

证法十一: 在SAB中易得3cos3SBA.

又coscoscosSBASBCCBA6cos3SBC.

()SABCSBBABCSBBCBABC

coscosSBBCSBCBABCABC

62322222032

SABC. 证法十二:在平行四边形ABCD中45ABC,2AB,22BC,ACDC.分别以CDCA、为x轴正方向、y轴正方向建立空间直角坐标系(如图6).

则(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,0)DABC又,侧面SBC底面ABCD,S在底面ABCD内的射影在BC上. 又45BCA,可设(,,)Sxxz.由3SASB得11xz,(1,1,1),(2,2,0)ASCB.

0ASCB,SABC.