第二章 随机变量及其分布
这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要 的概念: 随机变量.
借助于随机变量, 概率统计 对随机现象的研 究才能完全量化的以较统一的方式进行, 从而使概率统计的研究能够向深入发展.
第一节 随机变量及其分布
1. 随机变量的概念 2. 随机变量的分布函数 3. 离散随机变量的概率分布列 4. 连续随机变量的概率密度函数
(2) “车间里同一时刻发生故障的机床台数不 超过m台”可用{X≤k}来表示
这样, 我们对随机事件的研究就可以转化成对随机 变量的研究.
正如研究随机试验那样, 我们不仅要知道随机试验可能 出现哪些结果, 更要了解这些结果出现的概率有多大.
同样对随机变量, 我们不仅要知道它取哪些值, 还要知道它取这些值的概率, 也就是该随机变量 的概率分布.
P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)
这方面更详细的讨论待我们介绍完分布函数的性 质再继续.
例一. 连续抛一枚硬币三次, 定义X=获得的正 面的次数. 求X的分布函数.
解: X的取值情况如下表
ω HHH HHT HTH THH TTH THT HTT TTT X(ω) 3 2 2 2 1 1 1 0
随机变量的定义: 设Ω={ω} 为试验的样本空间, 如 果对每个ω∈Ω, 都对应一个实数X(ω), 则称 这样的实值函数X(ω)为随机变量.
X(ω)可理解成样 本点ω的某一个数
字特征
随机变量常用大写字母X, Y, Z等来表示, 其取值常 用相应的小写字母x, y, z来表示.
随机变量的一些例子如:
Random Variable).
例如例一中的X是一个离散随机变量, 灯泡的寿 命T是一个连续随机变量.
有了随机变量的概念后, 随机事件就可以通过随机 变量来表示.
例如在维修人员的配备问题中, 用X表示同一时刻发生故障 的台数, 则X是一个随机变量. 有关事件如
(1)“同一时刻恰有k台机发生故障”可用 {X=k}来表示;
当2≤x<3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8
当x≥3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
综上所述, X的分布函数为:
0 F ( x) 11//28
7/8 1
当 x 0 当0 x 1 当1 x 2 当2 x 3 当3 x
• 但在很多的情况下, 样本空间的样本点本身不是 数, 而且数量多, 这会对相关事件的深入研究造 成麻烦. 而且, 我们感兴趣的往往不是样本点本身, 而仅仅是其某一个数字特征.
例如, 对50个人进行对于某项政策是否同意的民 意调查, 其每一个样本点是50个“同意”或“不 同意”的排列, 如
(同意, 不同意,不同意,同意,同意,同意, …不同意)
1. 随机变量的概念
为什么要引进随机变量?
上一章里, 我们介绍了随机现象, 样本空间, 事件 及其概率等知识, 知道了随机现象的样本空间的 类型很多, 即其样本点的类型和数量在不同的研 究中有很大差别:
• 有时样本空间的样本点本身就是数量. 如掷一颗 骰子, 样本点是出现的点数; 电视机的寿命, 样 本点是电视机可能的寿命.
(1) 同时掷两只骰子, 令X=掷得的数 字和;
(2) 连续抛一枚硬币25次, 令Y=25次 中的到的正面的次数.
变量的分类
• 假如一个随机变量只能取有限个或可列无穷个值, 则称其为离散随机变量(Discrete Random Variable). • 假如一个随机变量的可能取值充满数轴的一个区 间, 如(a,b), 则称其为连续随机变量(Continuous
所以说, 随机变量的引进大大方便了对概率的研究.
以上的例子表明, 在随机试验里, 有这样的一种 量X, 它要么就是试验结果即样本点, 要么跟试 验结果相关, 它随着试验结果的不同而取不同 的值, 所以是变量. 这就是随机变量的通俗的定 义.
从数学的角度看, 随机变量X本质上是试验结 果即样本点的函数。故有如下的数学的定义.
50
样本空间里含的样本点数有250个. 这样 的原始的样本空间不便于我们表达和讨 论有关事件的研究.
该如何简化呢?
答案是根据研究目的引进随机变量, 从而建立原 始样本点和数的关系, 得到一个新的由数构成的 简单的样本空间.
例如在本例中, 我们感兴趣的数量仅仅是 50个人中同意该项政策的人数. 记X为50 个人中同意该项政策的人数, 则对于每一 个原始样本空间的样本点, X有唯一的数 与之相对应.
定义 设X是一个随机变量, 对任意实数x, 称
F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数, 记为 X~F(x).
分布函数刻画的是变量X落在(-∞,x]这种区间里的 概率.
那么其它种类的区间呢?
X落在其它种类区间的概率均可以用F(x)来表示. 如:
P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)
概率分布的定义
随机变量X的可能取值和它取这些值的概率称为X 的概率分布.
本章的重点就是考察随机变量的概率分布. 概率分 布由于随机变量的特点有不同的表达方式, 下面首 先介绍一个通用的工具:随机变量的分布函数.
2. 随机变量的分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称 cdf)
故 X是一个离散随机变量, 可求得X的概率分布为
x
0123
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
所以根据分布函数的定义有: 当x<0时, F(x)=P(X≤x)=0 当0≤x<1时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=1/8
当1≤x<2时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1/2
所以, X是样本点的函数, 根据试验结果的 不同取不同的值, 我们把X称为一个随机 变量.
该例中引入随机变量的好处有哪些?
引入变量X后, X对应的样本空间为{0,1,…,50}, 与原 始样本空间相比有两个优点: (1)数量化, (2)元素少; 而且用原始样本空间难以表达的事件, 如有一半人同 意该项政策, 可以用随机变量简单表示成{ω∈Ω: X(ω)=25}, 或缩写成 {X=25}.