丽水学院2012届学生毕业论文 1 2Na 1Na 3a 1a 2a

a

浅谈求极限的几种方法 理学院 数学与应用数学 082本 陈梦思 指导老师 梅春亮

摘要：数学分析很多概念都离不开极限,而求数列或函数的极限,是数学学习中遇到的比较困难的问题.本文通过归纳和总结,从不同的方面罗列了它的几种求法. 关键词：数列极限,函数极限,柯西准则,洛必达法则,泰勒展式,迫敛法则

1 数列极限 1.1数列极限的(-N)定义 设{na}为数列,a为定数.若对任给的正数,总存在正整数 N,使得当n>N时有 ∣na—a∣<,则称数列{na}收敛于a,定数a称为数列{na}的极限,并记作limnna=a,或

naa(n

).

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 数列limnna=a的几何解释：

将常数a及数列12,,,,naaa在数轴上用它们对应的点表示出来,再在数轴上作点a的领域即开区间（a-,a+）如图 a 2 a

因不等式∣naa∣与不等式naaa等价,所以,当n>N时,所有的点na,即无限多个点 123,,,NNNaaa…都落在开区间（a-,a+）内,而只有有限个点（至多只有N个）在这区间以外. 注1 上面定义中正数可以任意给定是很重要的,因为只有这样,不等式∣na—a∣<才能表达出na与a无限接近的意思. 丽水学院2012届学生毕业论文 2 注2 定义中的正整数N是与任意给定的正数有关的,它随着的给定而选定. 1.2利用定义求极限

例1 试证：lim1nnn=1. 证明：对＞0,由不等式∣1nn—1∣=11n<成立,解得n＞1—1,可取 N=[1—1]+1.于是,对＞0,N=[1—1]+1,当n＞N时, 有∣1nn—1∣<,即lim1nnn=1. 总结：像例1这类简单的极限问题,可以分为两个步骤: 第一步,寻找N：0,求出使∣na-a∣<成立的n所要满足的条件; 第二步：取出N. 例2 证明: 1lim!nn=0.

证：1!n=1(1)(2)1nnn≤1n, 令1n,即1n, 存在N=[1],当n>N时,不等式1!n=1(1)(2)1nnn≤1n<成立, 所以1lim!nn=0. 总结：像例2这类题目利用适当放大法,可以分为三个步骤: 第一步：将∣na-a∣做适当放大成g(n),即对一切n,有∣na-a∣< g(n)成立; 第二步：寻找N（）：0,寻求使g(n) 第三步：取出N. 1.3利用单调有界原理求极限 【单调有界定理】 若数列{an}递增（递减）有上界（下界）,则数列{an}收敛,即单调有界数列必有极限.

例3 设a＞0,0x＞0,1nx =12 (nx+nax),n=0,1,2,…证明数列{nx}的极限存在，并求之. 丽水学院2012届学生毕业论文 3 证明：易见nx＞0,n=0,1,2…,所以有 1nx=12（nx+nax）≥nnaxx=a, 1nx=12（nx+nax）≤12（nx+2nnxx）=nx, 即数列{nx}单调递减有下界,极限存在.记limnxx=A,对关系式1nx=（nx+nax）, 令n取极限得到A=a（其中A=-a<0因不合题意,舍去）. 总结：这种类型的题目一般给出数列的第n项和n+1项的关系式,先运用归纳法等方法,证明其单调性和有界性.由单调有界原理得出极限的存在性,然后对关系式取极值. 1.4 利用两边夹定理 我们来分析如下问题：设{na},{nb}和{nc}都是实数序列,它们满足不等式

nnnacb,nN.如果{na},{nb}都是收敛序列,它们的极限都是a:

limlimnnnnaba,那么关于序列{nc}的收敛性有什么样的结论呢？

我们来考虑a的任意一个领域(a-,a+).从某一项之后,na和nb都应落在a的这一领域之中,这时夹在na和nb之间的nc自然也必须落在这一领域之中.从这一分析出发,我们得到了一下定理的证明. 【两边夹定理】设收敛数列{na},{nb}都以a为极限,数列{nc}满足：存在正数0N,当 n＞0N时有nnnacb,则数列{nc}收敛,且limnnc=a. 证明定理成立：任给>0,由limlimnnnnaba,分别存在正数1N与2N,使得 当n>1N时有a—2N时有nba,存在0N,当n>0N时有nnnacb, 取N=max{0N,1N,2N},当n>N时,有a—两边夹定理不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且提供了一个求极限的工具,现来看下以下例题.

例4 求13(21)lim24(2)nnn. 丽水学院2012届学生毕业论文 4 解：记na＝13(21)24(2)nn,nb＝24(2)35(21)nn,显然,na0<2na1.5 利用柯西准则 在1.3中的单调有界原理只是数列收敛的充要条件,下面给出实数系中数列收敛的充分必要条件. 【柯西收敛准则】 数列{na}收敛的充要条件是：对任给的0,存在正整数N,使得当n, m>N时有∣na-ma∣<. （1） 它可以缩写为na-ma0（m ,n）或,limnmmnaa=0. 证：若naA,则由∣na-ma∣≤nmaAaA立即看出条件（1）必定满足.反之,设条件（1）满足,则有mnmaaa（m ,n>N）推出 limlimmnnmnnaaaa （m>N）,这表明limnna与limnna均有限,且

limlim2nnnnaa,故{na}收敛.

从定理可以看出,收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.另外,柯西收敛准则把-N定义中的na与a的关系换成了na与ma的关系,无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性. 例5 设2sin1sin2sin222nnnx,证明{nx}收敛. 证明：对>0（不妨设0<<1）,取N=21log>0,当n>m>N时,有 ∣nmxx∣=∣12sin(1)sin(2)sin222mmnmmn∣ ≤1211112222mmnm 由柯西准则知数列收敛. 丽水学院2012届学生毕业论文 5 1.6 利用stolz定理 如果lim,limnnnnxy,那么对于序列{nnyx}的极限状况,不能利用极限的运算法则得出一般性的结论,必须做具体的分析讨论. 【stolz定理】 设{nx}严格递增（即nN有nx<1nx）,且limnnx.若

11limnnnnnyyxxa (+,-) 则limnnnyxa (+,-). 几何意义：把（nx,ny）看成是平面上的点nM（如图所示）定理意义是,假设n

M

的横坐标nx,那么当1nnMM的斜率以a（有限数）,或+,或-为极限时,则nOM的斜率也分别以a,或+,或-为极限.

我们选取其中极限为有限数a的情况进行证明： 记11nnnnnyyaxx(1),按已经条件有lim0nn,即0,0N,当n≥N时,

有∣n∣<2. 由（1）得11()()nnnnnyyaxx

y x 4y Mn+1

3x 1y 1x 2x

4x

2y 3y 111(,)Mxy

222(,)MxynM丽水学院2012届学生毕业论文

6 =2112()()nnnnyaxx+1()()nnnaxx =… =11()()NNNNyaxx+…+1()()nnnaxx =111()()()NNNNnnnnNyxxxxaxx 两边同除以nx,再同时减去a,得

∣nnyax∣≤∣NNnyaxx∣+111NNNnnnnxxxxx

< 2NNnNnnyaxxxxx < 2NNnyaxx, 将n再进一步增大,因nx,故1NN,使得n>1N时有

2NNnyaxx

 ,于是22nnyax,

故limnnnyxa. 例1 若lim0nnaa（常数）,则 ① 12limnnaaaan; ② 12limnnnaaaa;

③ 12lim111nnnaaaa;

解：① 由stolz定理立得. ② 因 12nnaaa=121lnlnlnnaaane 利用对数函数与指数函数的连续性,由stolz定理,有12lnlnlnlimlimlnlnnnnnaaaaan.