二、评价指标的规范化处理
1. 评价指标类型的一致化
一般说来，在评价指标 x1 , x2 ,
, xm (m 1) 中可能包
含有“极大型”指标、 “极小型”指标、 “中间型”指标和 “区间型”指标。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为 好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区 间内为最好。 - 定性指标
j 1,2, , m) ，则可以计算出各系统的综合评价值 yi f (w, x(i ) ) ，
x ( xi1, xi 2 , , xim ) (i 1,2, , n) 。根据 yi (i 1,2, , n) 值的大小 将这 n 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
(i ) T
对某个区间型数据指标 x ，则
ax 1 c , x a x 1, a xb 1 x b , x b c
, m) ，且 w j 1。
j 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题 的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数 确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影 响到最后决策的正确性。
（4）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过 建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个 整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应 的评价结果。
不妨假设 n 个被评价对象的 m 个评价指标向量为 x ( x1, x2 , , xm )T ，指标权重向量为 w (w1, w2 , , wm )T ， 由此构造综合评价函数为 y f ( w, x ) 。
如 果 已 知 各 评 价 指 标 的 n 个 观 测 值 为 {xij }(i 1,2, , n;
• （1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了 如何使指标一致化的问题； • （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之 间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和 不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处 理——计算单项评价值。
• 4．确定各个评价指标的权重 • 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人， 也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。
3、综合评价的一般步骤
• 1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现 程度？） • 2．建立评价指标体系 • 3. 对指标数据做预处理
2、 构成综合评价问题的五个要素
构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指 标、权重系数、综合评价模型和评价者。
（1）被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类 的，且个数要大于 1，不妨假设一个综合评价问题中有 n 个 被评价对象（或系统） ，分别记为 S1 , S2 , , Sn (n 1) 。
• 1.1 将极小型化为极大型 • 倒数法：
1 xj xj
'
• 平移变换法
xj M j xj
M j max xij
1 i n
'
• 其中
• 1.2 将居中型化为极大型 • 对于居中型指标 x j
x j 取中间值 M j mj
2 为最好，要将其化为极 大型指标，令 xj
综合评价方法及其应用
一、什么是综合评价问题 近年竞赛题
全国研究生数学建模竞赛题目： （1）2011-C题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究 （2）2011-D题：房地产行业的数学模型 （3）2013-D题：空气中 PM2.5 问题的研究 （4）2013-E题：中等收入定位与人口度量模型研究 （5）2014-D题：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 全国大学生数学建模竞赛题目： （6）2012年-A题:葡萄酒质量的评价 （7）2012年-B题:碎纸片拼接复原问题 （8）2013年-A题：车道被占用对城市道路通行能力的影响
（2）评价指标 评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基 本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不 同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每 一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指 标体系。
1、综合评价的目的
• 综合评价一般表现为以下几类问题： • ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，但不 同于复合分组（重叠分组）； • ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基 础上对各小类按优劣排序）； • ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出 整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。 当然必须有参考系。
评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、 可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 m 个评 价指标（或属性） ，分别记为 x1 , x2 , , xm (m 1) ，即评价指 标向量为 x ( x1 , x2 ,
, xm )T 。
（3）权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某 种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的， 评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数 来刻画。如果用 w j 来表示评价指标 x j ( j 1, 2, , m) 的 权重系数，则应有 wj 0( j 1, 2,
2 (x j m j ) ,m j M j mj ' xj (M j x j ) M j 2 , M j mj 其中M j＝ max( x ij ), m j
M j mj
2
mj xj M j 2 min( x ij )
•1.3 将区间型化为极大型