。
2.2.3小波包分解 小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又可 以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个 N层分解来说， 有N+1个分解信号的途径。而小波包分析的 细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生 2N个不同的途径。
三 小波变换的一些应用
3.1小波包去噪
2.2.2多尺度分解
对信号的高频分量不再分解，而将信号的低频部分继续分解.实际中， 分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要，例如 长度为N的信号，最多能分成log2N层。在实际中，可以选择合适的 分解层数。下图为三层多尺度分解树结构，原始信号S的多尺度分 解为：S=cA3+Cd3+cD2+Cd1
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。 1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： E s si2 log si2 2）P范数熵：若P≥1，在lp范数意义上定义E(s)=
si ,则：
P
E(s)= 3)对数能量熵 E(si)=
s
i
P
i
s
将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后 重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
连续小波变换实例
2.2 离散小波变换
在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以
m m 取： a a0 , b nbo a0
， m,n为整数，a0为大于1的常数，b0为大于0
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条 件：
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。 正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
阈值量化函数的选取
阈值量化是应用所估计的阈值T，对小波系数进行的处理。目前， 阈值量化函数主要采用两种方法。 一种是硬阈值法，当小波系数大于该阈值时，保留原值，否则置 零，其公式为：
yi yi 0

yi T yi T
另一种是软阈值法，当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数 幅值的方向作一个收缩δ，否则置零，其公式为：
1 a0 T1

t0 T1
t0
f (t )dt
1.1 连续傅里叶变换 对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
F ( )


e it f (t )dt
其中
1 L ( R) { f ( X ) |

|
f (t ) | dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
为序列{fn}离散傅里叶变换，称
fn 1 N
K 0

N 1
X (k )e
k n i 2N
(k 0,1,..., N 1)
为序列{fn}逆离散傅里叶变换
X (t ) cos(2 10 t ) cos(2 25 t ) cos(2 50 t ) cos(2 100 t )
Ψ t
j
2
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。 小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。

2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良 好局部性质的小波函数ψ (t)的内积：
W f (a, b) f , a ,b
1 * t b f (t) ( )dt a a

式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复 数共轭，ψ a,b(t)称为小波基函数。
1 f (t ) 2



eit F ( )d
1.2 离散傅里叶变换 对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,„, FN-1,若
| 满足 n 0
N 1
f (t ) |
，则称
X (k ) F ( f n )
f
k 0
N 1
n
e
i
2 k n N
(k 0,1,...N 1)
P P
2 log s i ，0log(0)=0,则有 i
2 log s i i
E(s)= 4)阈值熵：
1 E(s)= 0
si si
式中，ɛ是阈值，且ɛ >0.
阈值选择准则
(1)基于无偏似然估计原理的Rigrsure规则；
W为一向量，其元素为小波系数的平方，并按由小到大的顺序排列， W=[w1,w2,…,wn]，且w1≤w2≤…≤wn，再设一向量R，其元素为： ri=[ n-2i-(n-i)w+
w ]/n
k k 1
i
(i=1,2,….,n)
以R元素中的最小值rb为风险值，由rb的下标变量b求出对应的wb，则 阈值T1为： T1=
σ wb
（2）通用阈值T1(sqtwolog准则)
T2=
σ 2 log n
（3）启发式的stein无偏风险阈值T3（Heursure）准则 3 Σn 设∑为n个小波系数的平方和，令η= ，μ= log 2 n 2 n 则
为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形 变突发位置等，1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor 变换，也称加窗傅里叶变换。 Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t ) 1/4et /2 作为窗口函 数，然后用 g (t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
傅里叶级数表达式：
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]

2 T1为 f (t )的周期。 基波角频率 1 ， T1
直流分量：
n 1
2 t0 T1 余弦分量的幅度： an f (t ) cos(n1t )dt t T1 0 2 t0 T1 正弦分量的幅度： bn f (t )sin(n1t )dt T1 t0
加噪信号数学模型为f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信号，n(t)是随机白噪声， 满足E[n(t)]=0和D[n(t)]=σ2。设Ψ(t)为小波函数，n(t)的小波包变换为
Wn(j,t)=n(t)·Ψj(t)= n t Ψ j t u du
R
n(t)的小波包系数的期望和方差分别为： E(|Wn(j,t)|2)=0 D(|Wn(j,t)|2)=
sgn yi yi δ yi 0
yi Βιβλιοθήκη T yi T式中，sgn（）为符号函数。
阈值准则
heursure
sqtwolog
rigrsure
mininmax
SNR rmse
11.0062 1.7976
28.7143 0.7416
11.0062 1.7976
21.9542 1.0398
阈值量化函数 SNR RMSE
硬阈值法 13.9391 1.5524
软阈值法 28.7143 0.7416
系统性干扰信号探测
阈值准则 SNR RMSE
噪声消除和系统干扰处理 43.4135 0.3556
小波包阈值消噪 28.7143 0.7416
的常数，a和b的选取与小波ψ (t)的具体形式有关。离散小波函数表示
为：
m t nb0 a0 1 m m,n t a 0 t nb0 m m m a a0 a0 0
1
相应的离散小波变换可以表示为：
W f m, n f , m,n
sin(2 10 t ) sin(2 25 t ) X2 sin(2 50 t ) sin(2 100 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000
1.3 短时傅里叶变换
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2 100 t ) sin(2 50 t ) X2 sin(2 25 t ) sin(2 10 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000
短时傅里叶变换示意图
cos(440 t ) x(t ) cos(660 t ) cos(524 t )
傅 里 叶 变 换 图
t 0.5 0.5 t 1 t 0.5
短 时 傅 里 叶 变 换 图
小波变换由法国科学家MORLET于1980年在进行 地震数据分析时提出，是强有力的时频分析(处 理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发 展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处 理、图像处理、模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号 各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号 分类是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波系数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用