２０１０年第１２期　福建中学数学　９　

方程的数学思想方法。　

设计思路本题将两个小题都设计为探究性问　

题，其目的是考查学生的探究能力，体现课标的理　

念．第（Ｉ）小题让学生探究函数ｆ（ｘ）在区问（０，ｅｌ　

上是否有最小值？学生只要掌握求导公式和利用导　

数求函数最小值方法，就可以顺利作答．第（Ⅱ）　

小题要求学生探究曲线Ｙ＝ｇ（ｘ）＝（ｆ（ｘ）一Ｚ）ｅ　＋Ｘ在　点　：Ｘ０处的切线与Ｙ轴是否垂直？学生必须熟悉导　

数的几何意义以及导数、方程、不等式相关知识才　

能作答．　难度估计：０．４左右．　

参考文献　［１］教育部考试中心．普通高等学校招生全国统一考试大纲［Ｍ】．北京：高　等教育出版社，２０１０　

对一道高考题解法“争议”的反思　

吴文中　

１福建师范大学数学与计算机科学学院（３５０００７）　２福建省泉州市泉港区第二中学（３６２８０１）　

２０１０年高考福建卷的参考答案公布后，文科数　

学卷第１８题第Ⅱ问的参考答案（以下简称参考答案）　

引发了一些争论．笔者在一番探究之后认为，这些　

争论事实上并无存在的价值．　

１．材料　

１．１试题　

（２０１０年高考福建卷・文１８）设平面向量ａｍ＝　

（　，１），　＝（２，”），其中ｍ　∈｛１，２，３，４｝．　

（Ｉ）请列出有序数组（ｍ，　）的所有可能结果；　

（Ⅱ）记“使得　ｊ－（ａ　一　）成立的（ｍ，　）”为事　

件Ａ，求事件　发生的概率．　

１．１．１参考答案　

解（Ｉ）略；　

（Ⅱ）ａ　一　＝（ｍ一２，１一＂），由　上（ａ　一　）得　

ｍ　一２ｍ＋１一”＝０，即月＝（ｍ—１）　．　

由于ｍ，ｎ∈｛１，２，３，４｝，故事件Ａ包含的基本事　

件为（２，１）和（３，４），共２个．　

又由（Ｉ）知基本事件的总数为１６，故所求的　

概率为Ｐ（Ａ）　言・　

１．１．２“争议”解法　

解（Ｉ）略；　

（Ⅱ）　一　＝（ｍ一２，１一”），由　上（ａ　一　）得　

ｍ　一２ｍ＋１一，ｚ＝０，即刀：（，卯一１）　．　

由于　，　∈｛１，２，３，４｝，又一ａｍ一　≠６，故事件　

包含的基本事件为（３，４），共１个，又由（Ｉ）知基　本事件的总数为１６，故所求的概率为Ｐ（Ａ）＝　１．　Ｊ０　１．２“争议”焦点　

上述两种解法孰是孰非？关键是向量ａ上ｂ时，　

向量ａ或ｂ是否可为零向量．参考解法显然持肯定态　

度，“争议”解法则持否定态度．可见，都是“零向量”　

惹的祸——“零向量”把不是问题的问题变成了问题．　

２．依据　

２．１“争议”解法的依据　

以下均为人民教育出版社Ａ版普通高中课程标　

准实验教科书　数学４　必修课本中的内容（以下简　

称为　数学４　）．　

第１０３页：“已知两个非零向量ａ与ｂ，我们把　

数量ｌ　ａ　ｌ＿ｂ　ｌ　ＣＯＳ０叫做ａ与ｂ的数量积（或内积），记　

作ａ・ｂ，即ａ・ｂ＝Ｉ　ａ　ｌｌ　ｂ　Ｊ　ＣＯＳ０，其中０是ａ与ｂ的夹　

角，……”　

第１０４页：“设ａ和ｂ都是非零向量，则：　

①ａｊ＿ｂ　ａ・ｂ＝０；……”　

第１０６页探究栏目：“已知两个非零向量　

ａ＝（ｘ１，Ｙ　），ｂ＝（Ｘ　，Ｙ２），怎样用ａ与ｂ的坐标表示　

．　呢？　

设　＝（　，Ｙ１），　＝（　，Ｙ２），　

则ａ一上一ｂ《＝＞ＸＩＸ２＋　ｌＹ２＝０．，’　

第１０８页习题Ｂ组第１题：“已知ａ一是非零向量，　

且一ｂ≠Ｃ一，求证：ａ一・一ｂ＝ａ一・一ｃ§ａ一上（　一苫）．，’

　１０　福建中学数学　２０１０年第ｌ２期　

可见，在上述讨论两向量垂直或者向量数量积　

等问题时，涉及到大量的非零向量．但这都只是首　

先限定为非零向量来讨论两向量垂直或者向量数量　

积等问题，并没有说明是零向量就不能讨论两向量　

垂直或者向量数量积等问题．　

２．２客观的依据　

２．２．１人教版的依据　

数学４》定义了长度为０的　

向量叫做零向量，规定零向量与任　

一向量平行．并且第９４页有：“不　

共线向量有不同方向，它们的位置ｎ　

关系可用夹角来表示．关于向量的　

夹角，我们规定：　

已知两个非零向量　和ｂ．如图２．３．３，作　＝　，　

ＯＢ＝ｂ，则ＺＡＯＢ＝０（０。　０　１８０。）叫做向量ａ与　

ｂ的夹角．　

显然，当０＝０。时，ａ与ｂ同向；当０＝１８０。时，　

口与ｂ反向．　

如果ａ与ｂ的夹角是９０。时，我们说ａ与ｂ垂直，　

记作口上ｂ．”　

显然上述讨论了两类情况，即不共线向量所成　

夹角和共线向量所成夹角，并定义了两向量的夹角　

为９０。时称该两向量垂直．由于零向量与任一向量平　

行，说明零向量的方向是任意的，自然零向量就可　

与任意另一向量成９Ｏ。夹角，零向量自然就可与任意　

向量垂直了．　

２．２．２湘教版的依据　

湖南教育出版社普通高中课程标准实验教科书　

（必修）　数学　第二册第１０６页：　

“３．垂直条件：　

夹角余弦公式的一个重要的特殊情形是：　

＝０　（口，６）：　２　Ｊ－云・　

我们规定零向量与所有的向量都垂直．这样，　

对任意两个向量ａ，ｂ（不论它们是否为零向量），　

都有　・ｂ：０§口ｊ．ｂ（垂直条件）．　

由此可知，要判定两个向量是否垂直，只要看　

它们的数量积是否为０”．　

可见，湘教版教科书明确无误的申明：两向量　

垂直时，向量可为零向量．　

２．２．３大学教材的依据　

高等教育出版社高等学校教材　解析几何　（第　三版）（吕林根、许子道编）第３９页：　

“定理１．７．１两向量ａ与ｂ相互垂直的充要条件　

是　・一ｂ：０．　

证当ａ上ｂ时，ＣＯＳ＜ａ，ｂ＞＝０，于是ａ・ｂ：０；　

反过来，当口‘ｂ＝０时，如果口，ｂ均为非零向量，　

那么根据（１．７一１）有ＣＯＳ＜口，ｂ＞＝０，从而口ｊ－ｂ；如果　

ａ，ｂ中有零向量，由于零向量的方向不定，可以把　

它看成与任意向量垂直，所以有口ｊ－ｂ，定理得证．”　

可见，在证明过程中明白无误地阐释了零向量　

可与任意向量垂直．　

３．反思　

３．１命题者的意料之外　

２０１０年高考福建卷数学（文史）第１８题一改传　

统命题模式，打破向量与三角、向量与解机几何等　

知识的交汇，而把向量与概率有机融汇在一起，具　

有很好的整合性，并且叙述简洁易懂．该题主要考　查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、　

应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思　

想．命题者把该题放在文科第二道大题，显然是难　

度较小的，算得上是容易题，是要为试卷的难度系　

数做大贡献的．试题的区分度也应该体现在向量垂　

直的转化及其运算求解上，而没有想到人为附加零　

向量成为影响该题区分度的重要要素之一，从而降　低该题的得分率，无意加强该题的教育导向功能，　

即平时教学中注重基础知识、核心概念的理解和应　

用，注重把基础知识、基本技能、基本思想方法落　

在实处．　

３．２防止对“用教材”的异化　

为什么零向量会成为该题的焦点呢？本质是对　两向量的垂直理解不够深入，或者断章取义．在高　

一（或高二）教学中，接新课程教学理念，自然要　

从“教教材”转向为“用教材”．而在多媒体等现代教学　

技术大力辅助课堂教学下，难免会出现知识点在屏　

幕上一闪而过，而学生没来得及或没意识到要记笔　

记的现状；又可能学生在课堂上“自我探究”、“自我　

阅读”时而对向量的数量积、向量的垂直等知识学习　

不到位、理解不够深入等现象；也可能是课后“自主　

学习”、“独立思考”时由于大量非零向量产生了先入　

为主，而造成思维定势．总之，“淡化课本时刻”是客　

观存在的．全国普通高中遵循唯一　普通高中数学　

课程标准（实验）

　（以下简称为　课程标准》），而　２０１０年第１２期　福建中学数学　

用不同版本的教材进行教学．老师也要正确处理这　

“一纲多本”带来的不适应，以防止对用教材的异　

化．教师可取的一个方法是：以　课程标准　为基　

本依据，随时研讨，把要求和理念融入课堂．并深　

入揣摩各种版本的共性（比如福建省用的人教Ａ版　和湘教版教材），也要关注其差异性．在上述“２．依据”　

中，显然湘教材明确告之向量垂直是可以存在零向　

量的，而人教Ａ版就显得晦涩多了．当然学生不可　

能有时间、有精心、有智慧去关注的．对于对这些“关　

注”要防止“大杂烩”，防止把各种版本教材中的知识　

都搬进课堂，塞给学生，而不理会学生是否消化、　

理解，甚至造成课时紧张，或者加重学生学习负担．　

３．３把握标准，以“纲”为纲　

对向量数量积的知识要求在　课程标准）＞、＜＜２０１０　

年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）　（以　

下简称为　考试大纲　）、＜＜２０１０年福建省语文・数学・英　语考试说明（文科）　（以下简称为　考试说明　）中　

完全一样，即：“掌握数量积的坐标公式，会进行平　

面向量数量积的计算．能运用数量积表示两个向量　

的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．”　

显然对“数量积”的知识要求是很高的，不是达到“理　

解”程度，就是达到“掌握”程度．这也是整个高中仅　

有几个要达到掌握程度知识中的一个．对“掌握”的把　

握　考试大纲　是这样界定的：“要求能够对所列的　知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题　

进行分析，研究、讨论，并且加以解决．这一层次　

所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推　

导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等．”“会用　

数量积判断两个平面向量的垂直关系”也就是对向量　

数量积公式的运用．像“向量数量积”这样的核心概念　

需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐渐加深理　

解，引导学生变换角度归纳、总结，忌讳“一步到位”　

或“华山一条道”，忌讳干瘪无味的方式死记硬背、机　

械模仿，把过程性、开放性、探究性、应用性融入　

课堂，引导学生数学地提出问题、数学地分析问题、　

数学地解决问题，从而对知识形成本质性理解，达　

到对“掌握”程度要求的知识的灵活应用．反复研读　

课程标准　考试大纲　，领悟课标课程理念，领　

悟“以知识为载体，注重能力的考查”的考试原则，把　

握知识的不同要求，把“了解”、“理解”、“掌握”有分　

寸的、有差别的渗透到课堂，落实到位．从而把知　

识的学术形态转变成学生容易吸收的教育形态，把　知识‘‘冰冷的美丽”转化为“火热的思考”．　

３．４回归课本，以“本”为本　

高考题经得住千千万万教师和考生的质疑，对　

考生来说最神圣的依据就是课本，于是课本成了命　

题者和备考者对话的共同准则．虽然在命题者眼里，　

课程标准　是命题的基本依据，　考试大纲　是命　

题的直接依据，　考试说明　服从于　考试大纲　，　

课本只是知识的载体，不能左右选拔性试题的命制；　

虽然在备考教师眼里，　课程标准》是进行教学的基　

本依据，　考试大纲》是进行备考的直接依据，　考　

试说明　是对　考试大纲　的细化，课本是知识的　

发源地，而不是知识的唯一，“用教材”而不是“教课　

本”，但是在考生眼里，课本和自己一起风风雨雨地　

走过高中学习生涯，是唯一信得过的“物”的依赖．可　

见，考生更要“回归课本”，以“本”为本．　

然而，备考过程中，铺天盖地的备考资料、试　

卷往往让人眼花缭乱，考生对教师的提醒“看看课　

本”、“不时翻翻教材”并不一定有多少深刻的领悟，　

而只是一味地沉入题海．“回归课本”不只是“开卷有　

益”，而应是对知识进行梳理、归纳、总结，从而把　

知识系统化、网络化．反复查漏补缺，扫除知识上　

的盲点．比如对零向量的认识，课本定义了零向量　

后，由于需要规定了零向量与任意向量平行，接着　

又说明了与零向量有关的向量加减运算、数乘运算、　

向量数量积的运算，把零向量的运算纳入向量的运　

算，体现向量的运算功能；在此过程中，也阐述了　

与零向量有关的几何意义，如方向、夹角等，更深　

入理解向量的几何功能．从而充分地把向量“数”的　

功能和“形”的功能水乳般交融在一起，落实以向量为　

载体渗透数形结合思想，体现向量在高中数学知识　

体系中的特殊地位．当然，这就得在教师的引导下　

深入课本，把孤立的知识点串起来，形成知识链，　

把知识、公式、概念的发生、发展和应用过程展现　

出来．又比如对课本里的例题、习题的认识，考生　

不只是会做，还可以通过改变条件、增减条件或对　

调条件和结论，尝试思考其充分性和必要性，从而　

由当前问题，通过类比、特殊化或一般化等思维过　

程理解知识的本质．　

高考试题往往是“年年岁岁意相似，岁岁年年题　

不同”，从而在备考过程中以“不变”应“万变”．所以　

对备考考生来说，“回归课本”不是一句口号，这不知　

是多少考生用血泪换来的警世名言．