２０１４年４月 Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．０７ 中学物理
解题指南·
例说变换参考系的变与不变
赖传伟
（江苏省宜兴中学江苏宜兴２１４２００）
变换参考系求解问题在最近几年的高考、自主招生、物理 竞赛中都有涉及，变换参考系要求学生对物理概念和规律理解 透彻，物理综合能力和空间想象要求较高，学生平时的生活和 学习的限制导致其变换参考系求解时常常容易出错，究其原因 是因为学生换了参考系后不适应、手足无措、乱用公式，不知道 哪些是需要变的哪些是不变的．下面以近几年高考题、自主招 生试题、物理奥赛试题等例题的分析，总结变换参考系中的变 与不变问题． １ 变换参考系在运动学中的应用 例题１（２ｏ１２年河南郑州一模）２０１１年８月１０日，改装后 的瓦良格号航空母舰进行出海航行试验，中国成为拥有航空母 舰的国家之一．已知该航空母舰飞行甲板长度为Ｌ＝３００ ｍ，某 种战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为ｎ＝４．５ ｍ／ｓ ，飞机速度要达到 ＝６０ ｍ／ｓ才能安全起飞．（１）如果航空 母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证飞机起 飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？（２）如 果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机 安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多大？ 解析 （１）解法１：取地面为参考系 战斗机的初、末速度分别为 ，口＝６０ ｍ／ｓ，位移 ：Ｌ＝ ３００ ｍ，加速度ｏ＝４．５ ｒｒｄｓ ．战斗机做匀加速直线运动，则 一 ２＝２ａｘ，代人求解得％＝３０ ｍ／ｓ． 解法２：若取航母为参考系 因为航母相对地面静止，所以战斗机的初、末速度，加速度
和位移与取地面为参考系相同，故结果也相同．
（２）解法１：取地面为参考系
航母匀速运动．设起飞时间为ｔ，航母速度为 ，ｔ内航母的
位移为 Ｉ，则 Ｉ＝口ｌ
战斗机起飞前随航母一起运动，故初速度 ＝ ，末速度
＝６０ ｍ／ｓ，加速度ａ＝４．５ ｍ／ｓ ，位移为ｘ２，则 一口ｏ“＝
２似２， ２一 １＝Ｌ，联立各式，可得 Ｉ＝（６０—３ｏｆｆ）ｍ／ｓ．
解法２：取航母为参考系
航母速度为零，战斗机初速度Ｖｏ ＝０，末速度 ，位移 ＝
Ｌ，加速度ａ＝４．５ ｍ／ｓ ．战斗机做初速度为零的匀加速直线运
动，则 一 ＝２ａｘ，可得 ＝３ｏｆ ｍ／ｓ ，题目中所求的是航母
对地速度，故 ＝（６０—３ｏＺ）ｍ／ｓ．
（２）问中选取不同参考系时，航母和飞机的初、末速度和
位移如表１．
表１ 不同参考系时，航母和飞机的初、末速度和位移
航母 飞机
初速度 末速度 位移 初速度 末速度 位移 参考系
（瑚 ８） （ｍ／ｓ） （ｍ） （ｍ／８） （ｒｎ／８） （ｍ）
地面 ６０—３ ６０—３ ４ｏｏｆｆ一６００ ６０—３ｏｆｆ ６０ 一３００
航母 Ｏ ０ Ｏ Ｏ ３ ３ｏ０
们为了观察的方便及其习惯，通常把信号电压加在 极板 ｕ
上，以便直接观察已知信号的波形或者根据未知信号的波形判
断其随时间变化的规律．
５ 如何获得理想的屏显波形
理解了“扫描”，就可以从运动的合成角度来分析屏显波
形的形成．如果嬲 、∥ 极板分别加上如下电压：
（１）图８：这相当于电子沿荧光屏上 轴、Ｙ轴做的都是匀
速直线运动，合运动仍是匀速直线运动，其轨迹是倾斜的直线，
这就是屏幕上显示的波形．
屏 波形
图８
（２）图９：相当于 轴方向匀速直线运动与ｙ轴方向简谐运
动的合成，屏幕上图形是波动图象．
（３）图１Ｏ：相当于 ＝Ａｌｓｉｎｅｑｔ和ｙ＝Ａ２ｓｉｎｔａｔ两个相互垂
直的简谐运动的合成（），＝ ），屏幕上图形是倾斜直线。
／＇１１
８６．
图９ 屏卜波形
图ｉ０ 屏上波形
（４）图１１：相当于 ＝Ａｌｃｏｓ￣ｔ和Ｙ＝Ａ２ｓｉｎｅｏｔ两个相互垂
直的简谐运动合成，若Ａ ＝Ａ：则屏上波形是圆、若Ａ ≠Ａ ，则
屏上波形是椭圆．
囹或囵
屏上波形 屏上波形
图ｌ０
如此等等，在示波器内提供的信号可能的情况下，还可以
在屏上得到利萨如图形．
圆
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教学中发现，第二小问的错误率较高，同类班级中，没有第
／ｂ问的班级比有第－／ｂ问的班级的错误率要高很多．常见的
错解 一 ：＝２ａＬ，错误的原因是式中Ｉ）０ ａ都是以地面为参
考系，而位移 是以航母为参考系，犯了同一公式中物理量没
有相对同一参考系的错误．
１所
例题２（２ｏ１２年江苏高考题）如图 卜，——
示，相距２的两小球Ａ、Ｂ位于同一高
度ｈ（ｔ、ｈ均为定值）．将Ａ向Ｂ水平抛出
的同时，Ｂ自由下落．Ａ、曰与地面碰撞前
后，水平分速度不变，竖直分速度大小不
变、方向相反．不计空气阻力及小球与地
面碰撞的时间，则
图ｌ
丸Ａ、Ｂ在第一次落地前能否相碰，取决于Ａ的初速度
Ｂ．Ａ、Ｂ在第一次落地前若不碰。此后就不会相碰
Ｃ．Ａ、Ｂ不可能运动到最高处相碰
Ｄ．Ａ、Ｂ一定能相碰
解析 取Ｂ球为参考系，Ａ球做匀速直线运动，且两球始
终位于同一条线上，所以Ａ、Ｄ正确．
小结１（１）灵活的选择参考系可以使复杂的问题简单
化，减少运算量，提高正确率．
（２）运动学中，选择不同的参考系不变的是运动学规律的
表达形式，变化的是公式中物理量的具体数值．同一个运动学
公式中所有物理量的取值必须相对同一个参考系．
２ 变换参考系在动力学中的应用
例题３（２０１０年清华五校自主招
生、２０１３年３Ｏ届全国中学生物理竞赛预
赛）在光滑的水平面上有一个质量为
肘、倾角为０的光滑斜面，其上有一个质 图２
量为ｍ的物块，如图２所示，物块在下滑过程中对斜面压力的
大小为
Ａ．
＋
Ｍｍ
ｍｇｓｉｃｎｏ ｓＯ ＢＭｍｍｇｓｉｃｎ
ｏ ｓＯ
ｒ ！ 塑 ｎ丝翌蠼！ ！旦
＋ｍｓｉｎ２０ ’Ｍ一，ｎｓｉ１１２
解析 因为水平面光滑，斜面和物块水平方向动量守恒，
物块加速下滑的同时斜面也加速向左滑动．
解法ｌ取地面为参考系
斜面受力示意图如图３、物块的受力示意图如图４所示．
图３ 图４
对斜面 ，水平方向：Ｎ１ ｓｉｎ０＝Ｍａ，，
对物块ｍ，沿斜面方向：ｍｇｓｉｎＯ＝，眦２ｓｉｎｏｔ，
垂直斜面方向：ｍｇｃｏｓＯ—ＮＩ＝ｒ， ｃｏｓ ，
因为物块相对斜面匀加速运动，所以垂直斜面方向上两加 速度大小相等． 则 口Ｉｓｉｎ０＝ａ２ｃｏｓ￣． 以上各式联立求解，Ａ选项正确． 解法２取斜面为参考系 若取斜面为参考系，斜面为非惯性系．在应用牛顿定律求 解时则要引入一个“虚拟力”．即在受力分 析时加上非惯性Ｐ３ｆ，ｆ＝一ｍａ０，ａｏ为非惯＼ 性系相对惯性系的加速度，负号表示与口０ 方向相反．对ｍ的受力分析如图５所示． 对 ：水平方向：Ｎ１ｓｉｎ０＝Ｍａｌ， 对ｍ：垂直斜面方向静止，则 Ｎ１ ＋ｆｓｉｎＯ＝ｍｇｃｏｓ９， 且ｆ＝一ｍ４。．联立求解，Ａ选项正确． ｍ受力分析图 （以斜面为参考系） 图５ 小结２ 在动力学中，变换参考系时，如果选取的参考系 为非惯性系，在受力分析时加上非惯性力即可，牛顿第二定律 的表达形式不变． ３ 变换参考系在动能定理中的应用 例题４（２９届全国中学生物理竞赛预赛）电荷量分别为口 和Ｑ的两个带异号电荷的小球Ａ和曰（均可视为点电荷），质量 分别为ｉｔ／／，和 初始时刻，Ｂ的速度为零，Ａ在Ｂ的右方，且与Ｂ 相距 ，Ａ具有向右的初速度 ，并还受到一向右的作用力厂使 其保持匀速运动，某一时刻，两球之间可以达到一最大距离． （１）求此最大距离．（２）求从开始到两球间距离达到最大的过 程中，所做的功． 解析 （１）取Ａ球为参考系，Ａ球匀速运动，为惯性系，且， 不做功，Ａ、Ｂ组成的系统能量守恒． 当两球间距为 时，Ｂ球以速度 向左运动，远离』４球，当 Ｂ球速度为零时，Ａ、Ｂ问距离最大． 有能量守恒定律扣一 ＝ ， 得 ｆⅢ＝莉２ ｋｑｑ ｌｏ（２）取地面为参考系．日球初速度为零，末速度为 ， 由功能关系 ［÷（ｍ＋Ｍ）ｄ一 ］－（专刑。２一 ）： － －ｍ ‘Ｉ ｂＯ 本题中在不同参考系时，Ａ、曰小球的初动能和末动能、力， 做功情况如表２． 表２ 不同参考系时，Ａ、 小球的初动能和末动能、力，做功情况 Ａ球为参考系 地面为参考系 初动能 末动能 初动能 末动能 ｌ ， 瑶 Ａ球 Ｏ Ｏ 噶 Ｂ球 喊 Ｏ Ｏ ＿Ｊ１ ２ 力，做功情况 ０ 小结３ 在能量的问题中，变换参考系时，动能的数值可 能会变化，力做功的情况也可能发生变化．如果选取的参考系 为非惯性系，在计算力做功时只要加上非惯性力做功即可，动 能定理的表达形式仍然不变． 由以上例题可以看出，运动学公式中的速度、加速度、位移 都和所选择的参考系有关，从而导致动能、动量、做功等物理量
的数值也和参考系的选取有关．实际运算中这些物理量的数值
都必须和选择的参考系相对应．若选择的参考系为非惯性系在
受力分析时要加上非惯性力．不考虑相对论效应的情况下，变
换参考系后，运用运动学公式、牛顿运动定律、动能定理求解时
变化的是物理量的数值，不变的是表达形式．
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