矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
1.1矩阵等价的定义[1]
定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：
定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]
定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .
1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:
性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .
性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （2
1,k k 是任意常数）
性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.
性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似. （m 为正整数） 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()
P A P B AP P m m m
11--==，故
可以得到m A 与相m B 相似.
性质1.7 如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1
-B ～1
-A . 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()
P A P B AP P 1111
1-----==，
故可以得到1
-B ～1
-A .
性质1.8 如果矩阵A ～B ，那么B A =.
证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.
性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.
证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()
P A P AP P B 111
11-----==，从而1-B 和1
-A 也相似.
若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.
性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.
证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-λλ ()P A E P -=-λ1
A E -=λ
故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.
性质1.11 相似矩阵有相同的迹.
证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，
()()
AP P t B t r r 1-=
()
PA P t r 1-=
()A t r =
例1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？
解 从已知可知63
002==
A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r
对于A 的特征多项式3
2
--=-λλλA E )3)(2(--=λλ
故A 的特征值为2和3.
对于矩阵B ,62
003==
B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r
矩阵B 的特征多项式)3)(2(2
00
3
--=--=
λλλλB . 故矩阵B 的特征值是2和3.
存在一个可逆矩阵⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1
，从定义矩阵B 与矩阵A 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].
例2 设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如
果相似求出可逆矩阵P .
解 由矩阵A 的特征多项式为1
1020
2424
21
1
24
24
2
421
-+---=---λλλλλλλ
1
24
2421
---=
λλλ
)4()5(2+-=λλ 故矩阵A 的特征值为5和—4.
容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，
故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=3253
10315152
552325154
551
P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]
定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.
n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：
⑴ 反身性: 即任一n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如A 与B 合同，则B 与A 合同. ⑶ 传递性: A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.
⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.
2. 合同矩阵与相似矩阵的关系
2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].
⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.
⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.