2
x + C4 sin
β
2
x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例7. 解方程 y(4) + 2y′′ + y = 0 . 解: 特征方程: r 4 + 2 r 2 +1 = 0
即 ( r 2 +1 )2 = 0
特征根为 则方程通解 :
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业： 习题7-7 作业：P- 340习题 习题
dx + 2n + k2 x = 0 dt dt2 x t =0 = x0, dx t =0 = v0 dt
d2 x
o x x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: + k2 x = 0 dt2 特征方程: r 2 + k 2 = 0, 特征根: r , 2 = ±i k 1
例2. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = −2 s t =0 = 4 , dt t = 0
−t
解: 特征方程 r 2 + 2 r +1 = 0 有重根 r = r2 = −1, 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e 利用初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
高等数学
主讲人： 苏本堂
解的特征: 解的特征 简谐振动 A: 振幅,
ϕ : 初相,
周期:
固有频率 (仅由系统特性确定)
dx dx (下图中假设 x t =0 = x0 > 0, dt
t =0
= v0 > 0)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
2) 有阻尼自由振动情况 d2 x dx 2 方程: +2 n +k x = 0 2 dt dt 特征方程: r 2 + 2 n r + k 2 = 0 特征根:
n = 1.5, k = 1 x0 =1.5 v0 = 5.073
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
临界阻尼解的特征 : ( n = k )
任意常数由初始条件定, 无论C1,C2 取何值都有
1) x(t) 最多只与 t 轴交于一点;
2) 无振荡现象 ;
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
山东农业大学
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = f (x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y′′ + py′ + qy = 0
-----特征方程法 特征方程法
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子
例6. 解方程 即
4
( r 2 + 2 β r + β 2 )( r 2 − 2 β r + β 2 ) = 0
r ,2 = 1
β
x
β
其根为
2
( 1±i ), r3 , 4 = −
β
2
( 1± i )
方程通解 :
w= e
2
( C1 cos
−
β
2
x + C2 sin
β
2
x)
β
2
+e
x
( C3 cos
β
特征方程:
r n + a1 r n−1 +L+ an−1r + an = 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项
则其通解中必含
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1. 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 − 2 r − 3= 0, 特征根: r = −1, r2 = 3 , 1 因此原方程的通解为
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第七节 常系数齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二阶常系数齐次线性微分方程
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) + P y(n−1) + L+ Pn−1 y′ + Pn y = f ( x) 1
主讲人： 苏本堂
2. 当 p2 − 4 q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得:
r x 1
2 [ ( u′′ + 2 r u′ + r u ) + 1 1
( u (x) 待定)
e
p(u′ + r u ) + q u ] = 0 1
+ p r + q)u = 0 1
高等数学
主讲人： 苏本堂
例4.
的通解.
解: 特征方程 r 4 − 2 r3 + 5 r 2 = 0, 特征根:
r = r2 = 0, 1
r3 , 4 = 1± 2 i
因此原方程通解为
y = C1 + C2 x + ex ( C3 cos 2x + C4 sin 2x )
例5. 解方程 y(5) − y(4) = 0. 解: 特征方程: r5 −r 4 = 0, 特征根 :
因此原方程的通解为
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
小结: 小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 + pr + q = 0, 特征根 实根 通 解
r1 x
y = C1e
+ C2e
r2 x
方程通解: x = C1 cos k t + C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 = x0 , C2 = k 故所求特解: v0 x = x0 cos k t + sin k t k
A ϕ
x0
v0 k
2 v0 kx0 2 ( A = x0 + 2 , tanϕ = v0 k
)
山东农业大学
猜想
有特解
rx
y=e
rx
设 y = e , 将其代入上方程, 得 rx 2 rx Q e ≠ 0, ( r + pr + q )e = 0
故有
r + pr + q = 0
2
特征方程
由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是 微分方程的解.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
大阻尼解的特征: 大阻尼解的特征 ( n > k )
其中 r , 2 = −n ± n2 − k 2 = −( n m n2 − k 2 ) < 0 1
1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件 lim x(t) = 0.
t →+∞
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数:
r = r2 = r3 = r4 = 0, r5 =1 1 原方程通解: y = C1 + C2 x + C3x2 + C4 x3 + C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2 , x3, ex )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
d w + β 4 w = 0 ( β > 0 ). dx4 解: 特征方程: (r 2 + β 2 )2 − 2 β 2r 2 = 0
1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3
y = ( C1 + C2 x ) e
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
推广: 推广
y(n) + a1 y(n−1) +L+ an−1 y′ + an y = 0 ( ak 均为常数)
y1 = e(α +i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(α −i β ) x = eα x (cos β x − i sin β x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 1 y2 = 2 i ( y1 − y2 ) = eα x sin β x
u′′ + ( 2 r + 1
2 p ) u′ + ( r 1
是特征方程的重根
u′′ = 0
取 u = x , 则得 y2 = x er1 x , 因此原方程的通解为
y = ( C1 + C2 x ) er1 x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂