２０１０年２月　Ｆｅｂ．２Ｏ１Ｏ　华南师范大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＯＵＴＨ　ＣＨＩＮＡ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＥＤＩＴＩＯＮ）　２０１０年第１期　Ｎｏ．１，２０１０　

文章编号：１０００—５４６３（２０１０）０１—０００５—０４　

周期系数高阶线性微分方程的次正规解　

黄志波　，李倩　（１．华南师范大学数学科学学院，广东广州５１０６３１；２．华南农业大学应用数学系，广东广州５１０６４２）　

摘要：考虑周期系数高阶线性微分方程　

，‘　’＋∑［　一，（ｅ　）＋Ｑ一（ｅ　）ｌ厂　＝ＲＩ（ｅ　）＋　２（ｅ　），　：ｌ　其中ｎ≥２，　（　），Ｑｆ（＝）（Ｊ：０，１，２，…，ｎ一１），Ｒｌ（ｚ）和尺：（ｚ）均是关于　的多项式，且尸，（　），Ｑｆ（　）　ｎ一１）不全为常数．在条件ｄｅｇ尸　＜ｄｅｇ尸０（　＝１，２，…，ｎ一１）下，获得方程的次正规解的表示．　关键词：高阶线性微分方程；次正规解；周期系数　中图分类号：Ｏ１７４．５　文献标志码：Ａ　

考虑二阶齐次线性微分方程　厂　＋［Ｐ　（ｅ　）＋Ｑ。（ｅ一　）］厂　＋　

［Ｐ：（ｅ　）＋Ｑ：（ｅ　）］／＝ｏ，　（１）　其中Ｐ　（　），Ｐ　（Ｚ），Ｑ　（　）和Ｑ　（ｚ）均是关于ｚ的　

多项式，且不全为常数．众所周知，方程（１）的所有　解均为整函数　Ｊ．　

定义１设　ｚ）为整函数，则函数　＝）的ｅ一型　级定义为　

ＪＤ　（　：　．　（２）　

定义２　设厂（　）≠０是方程（１）的解且满足　Ｐ　（　＝０，则称ｆ（ｚ）为方程（１）的次正规解．特别　

地，称　Ｚ）－－＝０也是方程（１）的次正规解．　

关于方程（１）的次正规解的研究，我们可以参　

考文献［２］　７］．在文献［２］中，黄志波和陈宗煊　给出了方程（１）的所有次正规解的表示，即：　

定理Ａ　设ｆ（　）是方程（１）的次正规解，其　中Ｐ　（　），Ｐ　（ｚ），Ｑ　（　）和Ｑ　（　）均是关于　的多项　

式且不全为常数．　

（１）如果ｄｅｇ　Ｐ１＞ｄｅｇ　Ｐ２和Ｐ２＋Ｑ２－－０，那么方　程（１）的任一次正规解必为常数．　（２）如果ｄｅｇ　Ｐ１＞ｄｅｇ　Ｐ２和Ｐ２＋Ｑ２≠０，那么　ｚ）的表示形式为　）＝ｇ　（ｅ　），　

其中ｇ：（：）是关于　的多项式且ｄｅｇ｛ｇ：｝≥１．　

（３）如果ｄｅｇ　Ｐ　＜ｄｅｇ　Ｐ　，那么方程（１）唯一的　

次正规解厂（　）－＝０．　

（４）如果ｄｅｇ　Ｐ，＝ｄｅｇ　Ｐ　≥１，那么　ｚ）的表示　

形式为　

ｚ）＝　［ｇ　（ｅ　）＋ｇ：（ｅ　）］＋　

［ｇ，（ｅ　）＋ｇ　（ｅ　）］，　

其中卢。和　是复常数，ｇ　（　）（　＝１，２，３，４）均是关　于　的多项式．　

考虑更一般的微分方程　

／　＋［Ｐ。（ｅ　）＋Ｑ。（ｅ一　）］厂　＋［Ｐ　（ｅ　）＋Ｑ　（ｅ一　）］厂＝　

尺　（ｅ　）＋Ｒ：（ｅ　），　（３）　其中Ｐ　（：），Ｐ：（ｚ），Ｑ　（　），Ｑ　（ｚ），Ｒ　（　）和Ｒ　（　）　

均是关于ｚ的多项式，且不全为常数．在文献［３］、　［４］中，获得方程（３）的所有次正规解的表示，即　定理Ｂ　－４］　设　ｚ）是方程（３）的次正规解，其　

中Ｐ　（　），Ｐ。（ｚ），Ｑ　（　），　（Ｚ），Ｒ　（　）和Ｒ：（ｚ）是　关于：的多项式，且不全为常数．　

（１）如果ｄｅｇ　Ｐ１＞ｄｅｇ　Ｐ２和ｄｅｇ　Ｐ１＞ｄｅｇ　Ｒ１，那　

么　ｚ）的表示形式为　

）＝　［ｇ　（ｅ　）＋ｇ２（ｅ。）］，　

收稿日期：２００９—０３—３０　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０８７１０７６）；华南师范大学数学科学学院青年教师基金资助项目　作者简介：黄志波（１９７７～），男，江西东乡人，博士，华南师范大学讲师，主要研究方向：复域差分方程和复域微分方程，Ｅｍａｉｌ：ｈＴｌｘ，２００１９＠ｓｉ・　Ｎａ．ｃｏｍ．　

通讯作者　６　华南师范大学学报（自然科学版）　２０１０年　

其中口是一复常数，ｇ　（　）和ｇ２（　）是关于　的多项式　

（２）如果ｄｅｇ　Ｐ１＞ｄｅｇ　Ｐ２和ｄｅｇ　Ｐ１≤ｄｅｇ　Ｒ１，那　么　）的表示形式为　

ｚ）＝ｅ　［ｇ】（ｅ　）＋ｇ２（ｅ一　）］＋ｃ】ｚｇ３（ｅ一　）＋　

ｃ２ｇ４（ｅ。）＋ｇ０（ｅ　），　其中ＪＢ、ｃ　和ｃ：是复常数，ｇ　（　）（Ｊ＝０，１，２，３，４）是　

关于　的多项式且ｄｅｇ｛ｇ，ｆ≥１．　

（３）如果ｄｅｇ　Ｐ　＜ｄｅｇ尸２，那么厂（　）的表示形　式为　厂（ｚ）＝　［ｇ。（ｅ　）＋ｇ２（ｅ　）］，　

其中　是一复常数，ｇ　（：）和ｇ２（＝）是关于　的多项式．　

（４）如果ｄｅｇ　Ｐ　＝ｄｅｇ　Ｐ２≥１，那么　）具有下　

面２种形式之一：　）＝ｃｅ卢　［ｇ。（ｅ　）＋ｇ２（ｅ。）］＋　

ｅ　［ｇ３（ｅ　）＋ｇ　（ｅ　）］，　其中ｃ　，和　是复常数且　不为整数，　（　）（Ｊ＝　

１，２，３，４）是关于　的多项式，或者　

厂（ｚ）＝ｅ　｛　［ｇ。（ｅ　）＋ｇ　（ｅ　）］＋　

Ｃ１ｚｇ３（ｅ。）＋Ｃ２ｇ４（ｅ。）＋ｇ０（ｅ　）｝，　

其中／７，是一整数，Ｊ８、ｃ。和ｃ：是常数，ｇ　（　）（Ｊ＝０，１，　

２，３，４）是关于ｚ的多项式且ｄｅｇ｛ｇ，ｆ≥１．　问题：定理Ａ和定理Ｂ是否可推广到高阶微分　

方程　

’＋∑［Ｐ　（ｅ　）＋Ｑ　（ｅ　）］　＝　Ｊ　１　（ｅ　）＋　２（ｅ　）　（４）　（其中／７，／＞２，Ｐ　（ｚ），Ｑ，－（　）（．『＝０，１，２，…，　一１），　

。（　）和尺：（ｚ）均是关于ｚ的多项式且尸　（ｚ）和　（　）（　＝０，１，２，…，ｎ一１）不全为常数）？　

在下面的定理中，我们研究了方程（４）和它所　对应的齐次方程　厂‘　’＋［Ｐ　一１（ｅ　）＋ｑ　一１（ｅ一　）Ｉｆ　一　’＋…＋　

［Ｐ　（ｅ　）＋Ｑ。（ｅ一　）Ｉｆ　＋［Ｐｏ（ｅ　）＋　（ｅ一　）Ｉｆ＝０，　

（５）　在条件ｄｅｇ　Ｐ　＜ｄｅｇ　Ｐｏ（　＝１，２，…，几一１）下回答了　这个问题．　（ｉ）存在线测度为零的集合Ｅ　ｃ［一１Ｔ，竹）满足　

如果　∈［一霄，叮Ｔ）＼Ｅ　，那么存在常数Ｒ＝Ｒ（　）＞０　

使得对所有满足ａｒｇ　ｚ＝　和　≥　的ｚ，有　

ｆ　ｆ＜Ｃ（　ｌｏｇ￣ｒｌｏｇＴ　厂㈤　

（ｉｉ）存在对数测度为有限的集合Ｅ：Ｃ（０，ａ。）　

使得对所有满足　＝ｒ　Ｅ２　ｔＯ［０，１］的ｚ，有式（６）　

成立．　

定理１设　）是方程（５）的次正规解，其中　

／７，ｔ＞２，尸　（ｚ）和Ｑ，（。）（　＝０，１，…，ｎ一１）均是关于　

ｚ的多项式，且不全为常数．如果ｄｅｇ　＜ｄｅｇ　Ｐｏ　

（Ｊ＝１，２，…，疗一１），那么方程（５）的唯一次正规解　

ｚ）－－＝０．　

证明设整函数ｆ（　）是方程（５）的次正规解．　

因为ｄｅｇ　Ｐ　＜ｄｅｇ　Ｐ。（　＝１，２，…，ｎ一１），那么厂（ｚ）　

不可能为多项式．下面，考虑　）为超越整函数　

由方程（５）知，　

．　１　厂‘ｎ）　一　Ｑ丽‘　一　Ｐ０（ｅ　）＋。（ｅ　）　／’　

一１（ｅ　）＋ｐ　（ｅ。）厂　）　Ｐ。（ｅ　）＋Ｑ。（ｅ　）　ｆ　

Ｐ。（ｅ　）＋Ｑ　（ｅ　）ｆ　．．．．．．．．．．．．．．．．．　．．．．．－－－－－－．－—－－－－‘．－－－－－－—－－－－－－－・－，－－－－一　Ｐ。（ｅ　）＋Ｑ。（ｅ　）ｆ。　（７）　

另一方面，根据引理１（ｉ）和定义２，存在线测　

度为零的集合Ｅ　ｃ［一叮Ｔ，盯）满足如果　∈［一百，　

订）＼Ｅ，那么对任意给定的ｓ＞０，当　沿着射线　

ａｒｇｚ＝　趋于名　∞时，有　

ｆ　ｆ≤ｃ　ｌｏｇ￣ｒｌｏｇＴ（ａｒｄ＂）　’　

（．『：１，２，…，ｎ），　（８）　

其中Ｃ和Ｏｔ如同引理１．于是，对任意给定的占＞　

０，当：沿着射线ａｒｇ　＝　趋于Ｚ－－－＋时，由式（７）、　

（８）和ｄｅｇ尸　＜ｄｅｇ　Ｐ０（Ｊ：１，２，…，ｎ一１）可推出　

１－－０，矛盾．这表明，当ｄｅｇ尸　＜ｄｅｇ　Ｐｏ（Ｊ＝１，２，　

…，／Ｚ一１）时，方程（５）的唯一次正规解为　）兰０．　

证毕．　

１　高阶齐次线性微分方程的次正规解　２　高阶非齐次线性微分方程的次正规解　

引理１　。　设　）是超越亚纯函数，　＞ｌ是一　

个给定的实数，ｋ＞　≥Ｏ．那么存在Ｃ＝Ｃ（　）＞０使　得下面２个结论成立，其中ｒ＝Ｉｚ１．　引理２　设整函数　。）是ｒｔ阶微分方程　Ｐ０（ｅ　，ｅ一　）ｆ‘　＋Ｐｌ（ｅ　，ｅ一　）　‘　一　’＋…＋　

Ｐ　（ｅ　，ｅ　）　＝Ｐ　＋　（ｅ　，ｅ　）　（９）

　第１期　黄志波等：周期系数高阶线性微分方程的次正规解　７　

的次正规解，其中Ｐ　（ｅ　，ｅ　）（　＝０，１，…，ｎ＋１）　

是关于ｅ　和ｅ　的多项式且Ｐ。（ｅ　，ｅ　）≠０．如果　

ｚ）和厂（ｚ＋２，ｒｒｉ）线性相关，那么厂（　）的表示形　

式为　

ｚ）＝ｅ　［ｇ　（ｅ　）＋ｇ２（ｅ一　）］，　

其中　是复常数，ｇ　（ｚ）和ｇ：（ｚ）是关于　的多项式．　

定理２设ｆ（　）是方程（４）的次正规解，其中　

ｎＩ＞２，尸，（ｚ），Ｑ，（ｚ）（　＝０，１，…，ｎ一１），Ｒ　（　）和　Ｒ　（ｚ）均是关于　的多项式，且不全为常数．如果　

ｄｅｇ　Ｐ　＜ｄｅｇ　Ｐ。（　＝１，２，…，　一１），那么方程（４）的　

次正规解可表示为　

ｚ）＝ｅ　［ｇ　（ｅ。）＋ｇ２（ｅ　）］，　（１０）　其中卢是复常数，ｇ　（　）和ｇ２（　）是关于　的多项式．　

证明设整函数ｆ（　）是方程（４）的次正规解，　

那么　＋２，ｒｒｉ）也是方程（４）的次正规解．令　例３次正规解　ｚ）＝ｅ～＋ｅ　满足方程　

尸，　＋（ｅ　＋１）／　＋［（１＋ｉ）ｅ　＋１］ｆ　＋（ｉｅ　＋１）ｆ＝０，　

这里ｎ＝３，ｄｅｇ　Ｐ２＝１，ｄｅｇ　Ｐ１＝１，ｄｅｇ　Ｐ０＝１．　

例４次正规解　）＝ｅ‘　“）　＋ｅ　满足方程　

尸　＋（２一ｉ）　＋［ｅ　＋１　Ｉｆ　＋［（１一ｉ）ｅ　＋（１＋ｉ）Ｉｆ＝　

（２一ｉ）ｅ　＋５ｅ　，　

这里ｎ＝３，ｄｅｇ　Ｐ２＝Ｏ，ｄｅｇ　Ｐ１＝１，ｄｅｇ　Ｐ０＝１．　

例５次正规解　）＝ｅ　＋ｅ　满足方程　

＋　ｉｅｚ＋１、）　＋　＋１、）ｆ　＋ｆ＝　

（１＋ｉ）ｅ　＋４ｅ　，　

这里ｎ＝３，ｄｅｇ　Ｐ２＝１，ｄｅｇ　Ｐ１＝１，ｄｅｇ　Ｐ０＝０．　

参考文献：　［１］ＬＡＩＮＥ　Ｉ．Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅ－　ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｗａｌｔｅｒ　ｄｅ　Ｇｒｕｙｔｅｒ，１９９３．　（ｚ）：　）一　ｚ＋２，ｈｉ）．　（１１）　［２］　黄志波，陈宗煊．周期系数二阶齐次线性微分方程的　那么　（　）是方程（５）的次正规解．由定理１知，　次正规解［Ｊ］．数学学报：中文版，２００９，５２（１）：９—１６・　

（　）　０．由式（１１）知，　）－－ｆ（ｚ＋２，ｒｒｉ）．结合引　ＨＵＡ　Ｇ　ｚ　ｂ　０Ｉ’ｃＨＥＮ　ｚ。ｎ≮　朋‘ｓ　。删　１ｓ山石　ｏｆ　

理２，　）具有表示式（１０）・证毕・　ｗｉｔｌｌ　ｐ。ｄｏｄｉ。　。ｅ伍　ｔ　［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈ　ｓｉｎｉｃａ：　ｌｌｉｎｅ　。　注１　定理１和定理２分别推广了定理Ａ的　Ｓｅｒｉｅｓ　．５２（１）：一，２００９　９　１６．　（３）和定理Ｂ的（３）・　［３］ＨＵＡＮＧ　Ｚｈｉｂ。，ＣＨＥＮ　Ｚｏｎ　ｕａｎ，ＬＩ　Ｑｉａｎ．Ｓｕｂｎ０ｒｍａｌ　注２　如果存在ｍ∈｛０，１，…，ｎ一１｝，使得　．ｓｏｌｕｔｉ０ｎｓ　ｏｆ　ｓｅｃ０ｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｎｏｒｄａ０ｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎ．　

ｄｅｇ　Ｐ　≥～，ｍａｘ．。．　ｄｅｇ　Ｐｆ，那么方程（４）和方程ｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｊ　ｏｆＩｎｅｑｕａｌｉ一　（５）的次正规解的形式又如何？　ｎ。。肋ｄ　Ａｐｐｌｉ　０刀，Ｖ　２００９，Ａ而ｄ。　Ｄ　４１６２７３，　２　Ｐａｇｅｓ，ｄｏｉ：１０．１　１５５／２００９／４１６２７３．　

３高阶线性微分方程的次正规解的例　竺　ｏｕ０　ａｎ　，ｅ　ｔｈａｌ　．。盯Ｓｕ＝：　

ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｅｉ　Ｎｕｍｅｒ　例１　如果ｎ和ｇ是２个整数，那么次正规解　Ｓｉｍｔ１ｌａｔ，２０１０．１５：８８１—８８５．　）＝ｅ　＋ｅ－ｑｚ满足方程　［５］ＣＨＥＮ　Ｚｏｎｇｘｕａｎ，ＳＨＯＮ　Ｋ　Ｈ．Ｏｎ　ｓｕｂｎｏｒｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　

厂　＋（ｅ　＋ｑ＋ｅ一　一ｎ）ｆ　＋（ｅ　＋ｑｅ　一ｎｑ＋ｑｅ一　）　＝　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　

ｅ‘　２’　＋（ｎ＋ｇ）ｅ‘　’　＋（ｎ＋ｑ）ｅ‘　一　’　＋ｅ‘２一　，　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ：Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，２００７，５０（６）：７８６—８００・　这里ｎ：２，ｄｅｇ　Ｐ１：１＜ｄｅｇ　Ｐ。：２．　［６］　ＧＵＮＤＥＲＳＥＮ　Ｇ　Ｇ，ＳＴＥＩＮＢＡＴ　Ｅ　Ｍ・Ｓｕｂｎｏｒｍａ１　０ｌ　ｔｉ。ｎｓ　

例２次正规解　引＝ｅ２＊－　ｅ　满足　程兰　ｄ　ｏ［ｒｄ　ｅ］ｒ．１ｉ　ｎｅ。ａ　ｒ　ｄ　ｉｆｉ　ｅ　，嚣　ｏ２ｎ　ｓ：ｗ２７ｉｔ。ｈ　

＋（ｅ　＋ｅ　＋１）　”一ｆ　＋（ｅ　ｅｚ＋ｅ　）厂　［７］　ＹＡＮＧ　ｃ　ｃ：　ｆａｃｔ　ａｌｉｏ　０ｆ　ｅｎｔｉｒｅ　ｃ　ｓ　ｓａｔｉ　ｎｇ　ｅ如＋３ｅ　＋１０ｅ　＋３ｅ　一ｅ—　—ｅ－４ｚ，ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉ。ｎ５Ｉｓ］．Ｋｏｄａｉ　Ｍａｔｈ　Ｊ，１９９１，１４：１２３一　这里凡＝３，ｄｅｇ尸ｌ：１，ｄｅｇ　Ｐ２＝０，ｄｅｇ尸０＝２．　１３３．　下面的例３～例５说明满足注２中条件　［８　３　ＧＵＮＤＥＲＳＥＮ　Ｇ　Ｇ．Ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ　ｄｅｒｉｖａ－　

ｄｅｇ　Ｐ　≥　｛。】　１｝　ｄｅｇ　ｔｉＶｅ　０ｆ　ａ　ｍｅｒｏｍ。ｒｐｈｉｃ　ｃｔｉ。ｎＳ，ｐｌｕｓ　ｓｉｒｎｉ　ａｒ。。ｔｉｍ　ｔｅ　的方程（４）和方程（　）的沃　窥　是存在的．　［　］’Ｊ　ｄ０盯Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ，１９８８，３７（２）：８８一　ｏ４・