2019-2020学年江苏省无锡市宜兴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）方程2(1)4x +=的解为( ) A ．11x =，23x =- B ．11x =-，23x =C ．12x =，22x =-D ．11x =，21x =-2．（3分）抛物线2(2)1y x =+-的顶点坐标是( ) A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-3．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是( ) A ．220cmB ．220cm πC ．215cmD ．215cm π4．（3分）在半径为2的圆中，120︒的圆心角所对的弧长是( ) A ．23πB ．43π C ．2π D ．32π 5．（3分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是( ) A ．极差是20B ．平均数是90C ．众数是98D ．中位数是986．（3分）已知O 的半径是3，直线l 是O 的切线，P 是l 上的任一点，那么( ) A ．03OP <<B ．3OP =C ．3OP >D ．3OP7．（3分）以下命题：①每条直径都是所在圆的对称轴；②长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆内接四边形对角互补．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．38．（3分）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转一定角度后得到△AB C ''，连接BB '、CC '，已知AB c =，AC b =，BC a =，则:BB CC ''等于( )A ．:c bB ．:a bC ．:c aD ．:b c9．（3分）如图，正方形ABCD 边长为3，M 、N 在对角线AC 上，且45MBN ∠=︒，作ME AB ⊥于点E ，NF BC ⊥于点F ，反向延长ME 、NF 交于点G ，则GE GF 的值是( )A ．3B ．33C ．32D ．9210．（3分）已知抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a <经过点(1,0)A -、(3,0)B ，顶点为C ，则下列说法正确的个数是( ) ①当13x -<<时，20ax bx c ++>； ②当ABC ∆是直角三角形，则12a =-；③若3m x m +时，二次函数2y ax bx c =++的最大值为2am bm c ++，则3m ． A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有一个解为1x =-，则m 的值为 ． 12．（2分）如果3a b =，则ab a=- ． 13．（2分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 ． 14．（2分）在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米．附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是 米．15．（2分）已知二次函数233y kx x =-+的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ． 16．（2分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器零刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第18秒时，点E 在量角器上对应的读数是 度．17．（2分）如图，Rt ABC ∆，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，现将Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转30︒得到AED ∆，则图中阴影部分的面积是 ．18．（2分）在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 坐标分别为(0,1)、(0,5)、(3,0)，D 是平面内一点，且45ADB ∠=︒，则线段CD 的最大值是 ． 三、解答题（共84分） 19．（8分）解方程 （1）2650x x --=； （2）22(1)33x x -=-．20．（8分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点． （1）写出图中的一对相似三角形，并给出证明； （2）若63BF =，求BD 的长．21．（8分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）: 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲 10 9 8 8 10 9 乙101081079（1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由． 22．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围．23．（8分）我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛：经笔试、面试，结果小潘和小丁并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球，小潘先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丁再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小潘胜出；若两次取出的球是一红一蓝，则小丁胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴，y 轴的交点分别为(1,0)和(0,3)-． （1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当3y >-时，x 的取值范围．25．（10分）如图，AB 是O 的直径，弦DE 垂直半径OA ，C 为垂足，6DE =，连接DB ，30B ∠=︒，过点E 作//EM BD ，交BA 的延长线于点M ．（1）求O 的半径；（2）求证：EM 是O 的切线；（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当45APD ∠=︒时，求图中阴影部分的面积．26．（8分）某批发商以50元/千克的成本价购入了某产品800千克，他随时都能一次性卖出这种产品，但考虑到在不同的日期市场售价都不一样，为了能把握好最恰当的销售时机，该批发商查阅了上年度同期的经销数据，发现： ①如果将这批产品保存5天时卖出，销售价为80元； ②如果将这批产品保存10天时卖出，销售价为90元；③该产品的销售价y （元/千克）与保存时间x （天)之间是一次函数关系； ④这种产品平均每天将损耗10千克，且最多保存15天； ⑤每天保存产品的费用为100元．根据上述信息，请你帮该批发商确定在哪一天一次性卖出这批产品能获取最大利润，并求出这个最大利润．27．（10分）如图，ABC ∆中．（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足222PB PC BC +=的所有点P 构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC 、BC 距离相等的点P ．（作图必须保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BP ，若15BC =，14AC =，13AB =，求BP 的长．28．（10分）如图，抛物线25(0)y ax ax c a =++<与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH x ⊥轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且:9:16ABD ACB S S ∆∆=，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若DBH ∆与BEH ∆相似，试求抛物线的解析式．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）方程2(1)4x +=的解为( ) A ．11x =，23x =- B ．11x =-，23x = C ．12x =，22x =- D ．11x =，21x =-解：2(1)4x +=， 12x +=±，则12x +=，12x +=-， 11x ∴=，23x =-，故选：A ．2．（3分）抛物线2(2)1y x =+-的顶点坐标是( ) A ．(2,1) B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-解：2(2)1y x =+-是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为(2,1)--．故选：B ．3．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是( ) A ．220cmB ．220cm πC ．215cmD ．215cm π解：圆锥的侧面积235215ππ=⨯⨯÷=． 故选：D ．4．（3分）在半径为2的圆中，120︒的圆心角所对的弧长是( ) A ．23πB ．43π C ．2π D ．32π 解：在半径为2的圆中，120︒的圆心角所对的弧长是 120241801803n r l πππ⨯===． 故选：B ．5．（3分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是( )A．极差是20B．平均数是90C．众数是98D．中位数是98解：将数据从小到大排列为：78，85，91，98，98，A、极差为987820-=，说法正确，故本选项不符合题意；B、平均数是1(7885919898)905++++=，说法正确，故本选项不符合题意；C、众数是98，说法正确，故本选项不符合题意；D、中位数是91，说法错误，故本选项符合题意；故选：D．6．（3分）已知O的半径是3，直线l是O的切线，P是l上的任一点，那么() A．03OP<<B．3OP=C．3OP>D．3OP解：当点P为直线l与O的切点时，连接OP，则OP⊥直线l，3OP∴=，根据垂线段最短可知，OP的最小值时3，3OP∴，故选：D．7．（3分）以下命题：①每条直径都是所在圆的对称轴；②长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆内接四边形对角互补．其中真命题的个数是() A．0B．1C．2D．3解：①每条直径所在的直线都是所在圆的对称轴，原命题是假命题；②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；④圆内接四边形对角互补，是真命题；故选：B．8．（3分）如图，将ABC∆绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB C''，连接BB'、CC'，已知AB c=，AC b=，BC a=，则:BB CC''等于()A ．:c bB ．:a bC ．:c aD ．:b c解：将ABC ∆绕点A 逆时针旋转一定角度后得到△AB C ''， AB AB '∴=，AC AC '=，CAC BAB ''∠=∠， ACC AC C ABB AB B ''''∴∠=∠=∠=∠， ACC ABB ''∴∆∆∽，:::BB CC AB AC c b ∴''==，故选：A ．9．（3分）如图，正方形ABCD 边长为3，M 、N 在对角线AC 上，且45MBN ∠=︒，作ME AB ⊥于点E ，NF BC ⊥于点F ，反向延长ME 、NF 交于点G ，则GE GF 的值是( )A ．3B ．33C ．32D ．92解：如图所示，过M 作MQ BC ⊥于Q ，过N 作NP AB ⊥于P ，则 Rt APN ∆中，22AN PN EG ==，Rt CMQ ∆中，22CM MQ GF ==，正方形ABCD 中，AC 是对角线， 45BAN MCB ∴∠=∠=︒，又45MBN ∠=︒，45ABN ABM CMB ∴∠=∠+︒=∠， ABN CMB ∴∆∆∽，∴AB ANCM CB=，即CM AN AB CB ⨯=⨯， ∴229GF EG ⨯=，即29GF EG ⨯=，GE GF ∴的值是92， 故选：D ．10．（3分）已知抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a <经过点(1,0)A -、(3,0)B ，顶点为C ，则下列说法正确的个数是( ) ①当13x -<<时，20ax bx c ++>； ②当ABC ∆是直角三角形，则12a =-；③若3m x m +时，二次函数2y ax bx c =++的最大值为2am bm c ++，则3m ． A ．0B ．1C ．2D ．3解：抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a <经过点(1,0)A -、(3,0)B ， ∴该抛物线开口向下，对称轴为1312x -+==，抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ∴①正确；点C 为抛物线的顶点，∴当ABC ∆是直角三角形时，此三角形为等腰直角三角形∴对称轴1x =与x 轴的交点将ABC ∆分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为22AB= ∴此时点C 坐标为：(1,2)设22(1)2y ax bx c a x =++=-+ 将(1,0)A -代入得：042a =+12a ∴=- 故②正确；对称轴为1x =，0a <∴当1x 时，二次函数2y ax bx c =++的函数值随着x 的增大而增大∴③中1m 即可，故③错误．综上，正确的有①②故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有一个解为1x =-，则m 的值为 4- ． 解：把1x =-代入方程230x x m -+=得130m ++=，解得4m =-．故答案为4-．12．（2分）如果3a b =，则a b a =- 2 ． 解：3a b =， 3a b ∴=，∴3332a b b a b b ==---； 故答案为：32-． 13．（2分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 (1)1640x x -= ．解：根据题意得：每人要赠送(1)x -张相片，有x 个人，∴全班共送：(1)1640x x -=，故答案为：(1)1640x x -=．14．（2分）在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米．附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是 24 米． 解：设大楼的高约为x 米，∴618 4.5x =，解得24x =．故答案为24．15．（2分）已知二次函数233y kx x =-+的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 34k <且0k ≠ ．解：二次函数233y kx x =-+的图象与x 轴有两个交点，∴当0y =时，2033kx x =-+有两个不等的实数根， ∴20(3)430k k ≠⎧⎨--⨯>⎩， 解得，34k <且0k ≠， 故答案为：34k <且0k ≠． 16．（2分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器零刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第18秒时，点E 在量角器上对应的读数是 144︒ 度．解：连接OE ，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，∴第18秒时，41872ACE ∠=︒⨯=︒，90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上，即点C 在O 上，2272144EOA ECA ∴∠=∠=⨯︒=︒．故答案为144．17．（2分）如图，Rt ABC ∆，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，现将Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转30︒得到AED ∆，则图中阴影部分的面积是 22323π-+ ．解：作FH AD ⊥于H ，如图，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，45BAC ACB ∴∠=∠=︒，222AC AB ==，Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转30︒得到AED ∆，22AD AC ∴==，30CAD ∠=︒，45ADE ACB ∠=∠=︒，设FH DH x ==，在Rt AFH ∆中，33AH FH x ==，22AH DH +=，∴322x x +=，解得2(31)x =-，1222(31)2322AFD S ∆∴=⨯⨯-=-， ∴图中阴影部分的面积()230(22)22322323603AFD CAD S S ππ∆⨯⨯=-=--=-+扇形． 故答案为22323π-+．18．（2分）在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 坐标分别为(0,1)、(0,5)、(3,0)，D 是平面内一点，且45ADB ∠=︒，则线段CD 的最大值是 3422 ．解：点A 、B 坐标分别为(0,1)、(0,5)，4AB ∴=，作PH AB ⊥于H ，则2AH BH ==，取2PH =，则PAB ∆为等腰直角三角形，90APB ∴∠=︒45ADB ∠=︒， 12ADB APB ∴∠=∠， ∴点D 在以P 点为圆心，PA 为半径的圆上，线段CD 要取最大值，P ∴点在第二象限，(2,3)P -，CD PD PC +（当且仅当C 、P 、D 共线时取等号），CD ∴的最大值为PD PC +，222PD PA AH ===，22(32)334PC =++=，CD ∴的最大值为3422+．故答案为3422+．三、解答题（共84分）19．（8分）解方程（1）2650x x --=；（2）22(1)33x x -=-．解：（1）2650x x --=，265x x ∴-=，26959x x ∴-+=+，2(3)14x ∴-=，解得：314x -=±，1314x ∴=+，2314x =-．（2）22(1)33x x -=-，22(1)3(1)x x ∴-=-， (1)(223)0x x ∴---=， 10x ∴-=，2230x --=，11x ∴=，252x =． 20．（8分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点．（1）写出图中的一对相似三角形，并给出证明；（2）若63BF =，求BD 的长．解：（1）DEF BCF ∆∆∽平行四边形ABCD 中，//AD BC ，DEF BCF ∴∠=∠，EDF CBF ∠=∠，DEF BCF ∴∆∆∽．（2）平行四边形ABCD 中，AD BC =，E 是AD 的中点．1122DE AD BC ∴==， ∴12DE BC =， DEF BCF ∆∆∽，63BF =∴12DE DF BC BF ==， ∴33DF =∴BD ==21．（8分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）:（1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由． 解：（1）甲：(10898109)69+++++÷=，乙：(107101098)69+++++÷=；（2）2_s 甲12(110110)63=+++++=； 2_s 乙14(141101)63=+++++=；（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．22．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围．解：（1）由题意，得△2(21)8k k =+-2(21)k =-2(21)0k -，∴方程总有两个实数根．（2）由求根公式，得112x =-，2x k =-． 方程有一个根是正数，0k ∴->． 0k ∴<23．（8分）我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛：经笔试、面试，结果小潘和小丁并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球，小潘先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丁再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小潘胜出；若两次取出的球是一红一蓝，则小丁胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．解：画树状图为：由此可知，共有9种等可能的结果，其中两红球及一红一蓝各有4种结果，P （都是红球）49=，(1P 红1蓝）49=， P ∴（都是红球）(1P =红1蓝）， ∴这个规则对双方是公平的24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴，y 轴的交点分别为(1,0)和(0,3)-．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当3y >-时，x 的取值范围．解：（1）抛物线2y x bx c =++与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)和(0,3)-，∴103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩． ∴抛物线的表达式为：223y x x =+-．（2）当3y >-时，x 的取值范围是2x <-或0x >．25．（10分）如图，AB 是O 的直径，弦DE 垂直半径OA ，C 为垂足，6DE =，连接DB ，30B ∠=︒，过点E 作//EM BD ，交BA 的延长线于点M ．（1）求O 的半径；（2）求证：EM 是O 的切线；（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当45APD ∠=︒时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE ， DE 垂直OA ，30B ∠=︒，132CE DE ∴==，AD AE =， 260AOE B ∴∠=∠=︒，30CEO ∴∠=︒，12OC OE =， 由勾股定理得3OE =；（2）//EM BD ，30M B ∴∠=∠=︒，90M AOE ∠+∠=︒，90OEM ∴∠=︒，即OE ME ⊥，EM ∴是O 的切线；（3）再连结OF ，当45APD ∠=︒时，45EDF ∠=︒，90EOF ∴∠=︒， 2211(23)(23)3642S ππ=-=-阴影．26．（8分）某批发商以50元/千克的成本价购入了某产品800千克，他随时都能一次性卖出这种产品，但考虑到在不同的日期市场售价都不一样，为了能把握好最恰当的销售时机，该批发商查阅了上年度同期的经销数据，发现：①如果将这批产品保存5天时卖出，销售价为80元；②如果将这批产品保存10天时卖出，销售价为90元；③该产品的销售价y （元/千克）与保存时间x （天)之间是一次函数关系；④这种产品平均每天将损耗10千克，且最多保存15天；⑤每天保存产品的费用为100元．根据上述信息，请你帮该批发商确定在哪一天一次性卖出这批产品能获取最大利润，并求出这个最大利润．解：由题意可求得270y x =+；设保存x 天时一次性卖出这批产品所获得的利润为w 元，则，(80010)(270)10050800w x x x =-+--⨯，22080016000x x =-++，220(20)24000x =--+，015x <，15x ∴=时，23500w =最大，答：保存15天时一次性卖出能获取最大利润，最大利润为23500元．27．（10分）如图，ABC ∆中．（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足222PB PC BC +=的所有点P 构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC 、BC 距离相等的点P ．（作图必须保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BP ，若15BC =，14AC =，13AB =，求BP 的长．解：（1）如图所示，即为所求作的图形；（2）由（1）作图，设O 与AC 的交点为H ，连接BH ， 90BHC ∴∠=︒15BC =，14AC =，13AB =设14AH x HC x =∴=-，222221315(14)BH x x ∴=-=--，解得：5x =，5AH ∴=，12BH ∴=．连接OP ，由（1）作图知，CP 平分BCA ∠，PCA BCP ∴∠=∠，又OP OC =OPC BCP ∴∠=∠，OPC PCA ∴∠=∠，//OP CA ∴，OP BH ∴⊥ 与点Q ， 162BQ BH ∴==， 又152BO =， 92OQ ∴=， 3PQ ∴=，35BP ∴=．答：BP 的长为35．28．（10分）如图，抛物线25(0)y ax ax c a =++<与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH x ⊥轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且:9:16ABD ACB S S ∆∆=，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若DBH ∆与BEH ∆相似，试求抛物线的解析式．解：（1）222525525(5)()4424y a x x a c a x a c =++-+=+-+，∴525(,)24D a c --+； (0,)C c ，OC c ∴=-，254DH a c =-+， :9:16ABD ACB S S ∆∆=， ∴25();()9:164DH a c c OC =-+-=，4c a ∴=， 254(1)(4)y ax ax a a x x ∴=++=++， (4,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）//EH OC ，AEH ACO ∴∆∆∽，∴EH AH OC AO = ∴ 1.544EH a =-， 1.5EH a ∴=-； 2.25DH a EH =-≠，DBH ∆与BEH ∆相似， BDH EBH ∴∠=∠，又90BHD BHE ∠=∠=︒， DBH BEH ∴∆∆∽，∴DH BH BH EH =，∴ 2.25 1.5a BH BH a -=-，∴a =（舍去正值）∴2y =--。