超导电荷量子比特在量子信息中的应用 乔盼盼 ，艾合买提·阿不力孜 （新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐 830054） 摘要：随着量子计算机以及量子算法的提出，人们开始寻找可以实现量子计算机的真实物理体系。超导量子电路以其丰富的可设计性和优良的易集成性成为最有潜力实现量子计算机的人造量子体系。本文介绍了超导量子比特的基本原理、超导电荷量子比特的耦合以及耗散和退相干问题，展望了超导电荷量子比特在量子计算和量子信息科学中的应用前景。 关键词：超导电荷量子比特 Josephson效应 量子信息
1、引言 量子计算机的提出给人们描绘一幅经典计算机不能比拟的美好画面。Shor量子算法的提出使得人们对于基于大数因子分解问题的难解性的现行公钥密码体系安全性提出了质疑。利用量子保密协议则实现绝对安全的保密通信成为人们关注的热点话题[1]。要实现量子计算和量子计算机以及量子通讯需要最基本的物理量子体系作为支持。适用的量子体系需要满足5个条件：可初始化，可调控，可耦合，可测量，以及长的相干时间[2]。 现在正在研究的量子计算体系有很多，主要的有：量子点系统、超导量子电路、离子阱系统、光学系统、核磁共振系统等。其中作为宏观量子体系的超导量子电路以其丰富的可设计性和优良的易集成性成为最有潜力实现量子计算机的人造量子体系。常见的超导量子比特按其宏观变量的不同可以分为超导电荷量子比特、超导磁通量子比特和超导位相量子比特。本文将重点介绍基于电荷自由度的超导电荷量子比特的基本原理，量子比特间的耦合以及耗散和退相干问题。在文章的最后对超导电荷量子比特在量子计算和量子信息科学中的应用前景进行了展望。
2、超导电性与超导电荷量子比特 早在上世纪八十年代初，2003年Nobel物理学奖得主Anthony.J.Leggett就提出了Josephson系统中的宏观量子相干。他指出，在Josephson结电路中可以观测到宏观量子相干现象。但与光子的双缝干涉或者是电子的隧道效应的区别在于Josephson结电路中的表现形式是大量电子集团运动的相干迭加。超导量子电路的关键部分是一类人造的量子体系——小电容超导Josephson结，如图1（a）示。Josephson结是由“超导体—绝缘体—超导体”结构组成三层结构，其中的绝缘体很薄，一般不超过10纳米。 超导电性的物理原理在由Bareen、Cooper和Schrieffer建立的BCS理论中得到了很好的解释。该理论认为材料中的电子在费米球附近形成Cooper对（电荷量为2e，质量为2mc,自旋为0），并且凝聚到一个能量基态上。该能量基态可以用一个宏观波函数表示,tr，其中r表示空间变量，t表示时间变量。与其他量子力学的波函数一样，
tr,
可以写为,exp,titrr，其中,tr表示几率幅，2,tr表示Cooper对密度， exp,itr表示相位因子，是代表了约910个Cooper对集体运动的宏观变量[3]。
图1 （a）Josephson结示意图。两个超导体被一层绝缘层阻隔。Cooper对可以隧穿过绝缘层从而在结中形成电流；（b）最简单的超导电荷量子比特示意图。
宏观波函数导致超导体中两个非常重要的现象。第一种现象是磁通量子化。将一个用超导材料制成的闭合圈放置在外磁场中，降低温度至其转变温度后撤去外加磁场，环中的磁通是磁通量子2150Tm1007.22eh的整数倍。磁通量子化是tr,单值性要求的结果。第二种量子化现象是Josephson隧穿。Josephson结中绝缘
层很薄，使得Josephson结两侧超导体中的Cooper对可以隧穿过绝缘层，从而在结中形成电流。这就是Josephson效应。 与Josephson耦合能002JEI相关的相位差和与Josephson充电能222CEeC（C为总电容）相关的电荷量Q的对易关系为,2Qie，满足
Heisenberg不确定关系。当JCEE时，确定但Q有很大的量子涨落，此时位相自由度起主导作用，在这个区域工作的量子比特称为超导磁通量子比特(flux qubit)。当JCEE时，结电容中的Cooper对数n确定即结中的电荷量确定，但位相差涨落很大，电荷自由度起主导作用,在这个区域工作的量子比特称为超导电荷量子比特（charge qubit）。当JCEE与相差不大时，相位和电荷自由度都有一定的涨落，工作在这个区域的量子比特称为超导位相量子比特（phase qubit）[4]。在以下的内容中我们把注意力放在超导电荷量子比特上。 如上所述，超导电荷量子比特的工作区域为充电区极限条件。此时Josephson充电能CE远大于Josephson耦合能JE。最简单的超导电荷量子比特结构如图一所示。超导电荷量子比特的主体结构是由三部分组成的，第一部分是一个带有n个过量Cooper对的超导岛，也叫做Cooper对盒（Cooper-pair box）;第二部分是一个电容为JC耦合能为JE的Josephson结；第三部分是一个超导电极。除此之外，还有一个通过电容为gC的门电容与系统耦合的电压为gV的控制门电压。我们可以通过以下的比拟来更形象的理解Cooper对盒的工作原理。Cooper对盒就像一个储水的罐子，当然此时“水”是指以Cooper对形式存在的超导电子。罐子里的“水”可以通过阀门（Josephson结）用一个泵（控制门电压）抽出或是抽入到一个大水库（超导电路）中。其中超导岛要足够的小以至于热能BkT（Bk为波尔兹曼常数）比零压时的单电子电荷能22()CgJEeCC小很多。当1TK时，要求结的总电容小于1fF。这在当今的技术水平上是可以达到的。 选取超导能隙Δ比单电子电荷能CE还要大的超导材料，低温下准粒子隧穿被抑制在极低的水平上，甚至可以达到在超导岛上没有准粒子激发的状态。此时在超导结中只有Cooper对的相干隧穿，系统的哈密顿量为： 24()cosCgJHEnnE
（1）
式中n是岛中额外Cooper对数算符，θ是超导结中两侧超导体的相位差算符，如前面所讲，这是一对满足Heisenberg不确定关系的力学量算符[5]。gn是无量纲的门电荷，是系统的控制参量且有/2gggnCVe。需要注意的是虽然n是整数，但是gn是连续变量。当CJ
EE
时，在温度极低的情况下，Cooper对盒中最重要的两个量子态分别是0n和1n的超导电荷态。在12gn的简并点附近，cooper对盒的哈密顿量可以写为类似自旋为12系统的形式： 11ˆˆ
22ctrlzzxxHBB
（4）
超导电荷量子态0n和1n分别类似于自旋基态10和01。而（4）式的两个
能量本征态为超导电荷态0和1能级交叉的简并点，1012。 3、超导电荷量子比特的耦合 为了实现量子计算我们需要对单个量子比特进行操控，使其两个量子态可以根据需要进行相互转化。超导电荷量子比特的两个量子态可以通过调节隧穿耦合来实现。对隧穿耦合的控制是利用超导量子干涉仪（superconducting quantum interference device ），简写为SQUID来实现的。 首先，我们来看一下超导量子干涉仪。超导量子干涉仪是将一个弱连接超导体或两个弱连接超导体和大块超导体组成的环路，这时环路中将会产生宏观量子干涉效应。最一般的情况是将两个Josephson结并联在超导体环路中，如图2（a）中所示的情况就是将两个Josephson结平行的并联在一个环形超导体环路中构成的超导量子干涉仪。SQUID对外磁通非常敏感，也被用来制作测量极弱磁场的敏感磁力计。SQUID同电容、电感一样是构成超导电路的基本元件。
图2 （a）由圆环形超导体连接的两个并联的Josephson结组成的超导量子干涉仪（SQUID）示意图； （b）用两个超导Josephson结组成的SQUID代替一个Josephson结组成的耦合可调超导电荷量子比特示意图 其次，我们介绍利用SQUID来实现单量子的隧穿耦合。为了控制Josephson结中的隧穿几率，我们需要控制Josephson耦合能JE。我们可以用超导量子干涉仪来代替超导电荷量子比特中的单个超导Josephson结达到这样的目的。如图2（b）所示就是一个有效Josephson耦合可控的电荷量子比特。超导环中有通过环状电感与系统耦合的外加磁场，其中通过环的磁通量为x。改变环中的磁通量不但可以调节两个Josephson结中的相位差，还可以调节超导电荷量子比特整体的隧穿耦合，使得单比特操作更加简单精准。
图3不同耦合方式的超导量子比特示意图 （a）用电容耦合两个超导电荷量子比特的示意图，其中Cm
是耦合电容；（b）用电感的方式耦合两个超导电荷量子比特的示意图，其中L是耦合电感；（c）用电感和电容组成的高频LC谐振器方式耦合两个超导电荷量子比特的示意图 再次，有了对单量子比特的可控操作，为了实现量子计算功能，我们还需要有控制量子比特间耦合、相互作用的能力以及实现两比特甚至多比特的逻辑门。对于量子比特间的耦合和相互作用，最直接的方法就是通过电容将两个超导电荷量子比特直接连接起来，如图3（a）所示。其相互耦合的方式可以用zz形式的Hamiltonian来描述，常简称为ZZ耦合。这样做的优点在于易于实现受控非门（Controlled-Not）操作和实现两比特间的强耦合。但是由于我们要对两个比特间耦合和相互作用进行开关和调控，需要在电路中接入外部控制电路，从而使得超导电荷量子比特系统与外界的耦合加强，由此引起了严重的退相位（dephase）效应。这是我们不希望看到的。用电容直接耦合超导电荷量子比特的方法其耦合不能调控并且耦合只限制于相邻的两个量子比特之间[6]。 第二种耦合两个超导电荷量子比特的方法是用电感将不同的量子比特连接，如图3（b）所示。这种耦合方式可以用xx形式的Hamiltonian来描述，常简称为XX耦合。与用电容耦合方式不同，利用电感耦合量子比特可以实现任意两个比特间的耦合，并且不限制两个比特的位置是否相邻。同时该耦合的开关和调控只需要用外加磁场来实现，这就很大程度上减少了量子比特系统感受到的外界环境噪声。不过两个量子比特间的强耦合需要较大的电感才能实现[6]。 第三种实现两个超导电荷量子比特间耦合的方法是用高频LC谐振器将不同量子比特连