第三章 一元函数的导数和微分 【字体：大 中 小】【打印】
3.1 导数概念
一、问题的提出
1.切线问题
割线的极限位置——切线位置
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.
极限位置即
切线MT的斜率为
2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义
设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为
即
其它形式
关于导数的说明：
在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。
如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。
对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作
注意：
2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.
导数定义例题：
例1、115页8
设函数f（x）在点x=a可导，求：
（1）
【答疑编号11030101：针对该题提问】
（2）
【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数
1.左导数：
2.右导数：
函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.
例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。
【答疑编号11030103：针对该题提问】
解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导.
由定义求导数
步骤：
例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。
【答疑编号11030104：针对该题提问】
解
例4、设函数
【答疑编号11030105：针对该题提问】
解
同理可以得到
例5、求
例6、求函数的导数。
【答疑编号11030106：针对该题提问】
解
例7、求函数的导数。
【答疑编号11030107：针对该题提问】
解
四、常数和基本初等函数的导数公式
五、导数的几何意义
表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即
切线方程为
法线方程为
例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解
由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系
1.定理 凡可导函数都是连续函数.
注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。
我们有：不连续一定不可导
极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。
【答疑编号11030110：针对该题提问】
解：（1）
（2）
七、小结
1.导数的实质：增量比的极限；
2.导数的几何意义：切线的斜率；
3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
4.
5.求导数最基本的方法：由定义求导数.
6.判断可导性
3.2 求导法则
3.3 基本求导公式
一、和、差、积、商的求导法则
1.定理：
如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且
推论
2.例题分析
例1、求的导数。
【答疑编号11030201：针对该题提问】
解
例2、求的导数。
【答疑编号11030202：针对该题提问】
解
例3、求y=tanx的导数。
【答疑编号11030203：针对该题提问】
解
同理可得
例4、求y=secx的导数。
【答疑编号11030204：针对该题提问】
解
同理可得
例5、131页例2
设，求.
【答疑编号11030205：针对该题提问】
二、反函数的导数
1.定理：
如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
2.例题分析
例6、求函数y=arcsinx的导数
【答疑编号11030206：针对该题提问】
解
同理可得
例7、求函数的导数。
【答疑编号11030207：针对该题提问】
解
特别地
三、小结：初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设
u=u（x），v=v（x）可导，则
例8、127页1题（6）（14）（15） （1）1题（6）小题
【答疑编号11030208：针对该题提问】
解：
（2）1题（14）小题
【答疑编号11030209：针对该题提问】
解：
（3）1题（15）小题
【答疑编号11030210：针对该题提问】
解：
例9、115页3
若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。
【答疑编号11030211：针对该题提问】
解：
例10、115页5
求曲线的与直线y=5x的平行的切线。
【答疑编号11030212：针对该题提问】
另一条求出来是
四、分段函数的求导问题
1.114页定理：设
（1）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则
（2）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则
2.分段函数的求导问题举例
例11、 116页11 求下列分段函数f（x）的：
（1）
【答疑编号11030213：针对该题提问】
解：
五、复合函数的求导法则
1.复合函数的求导法则
定理
如果函数在点x0可导，而y=f（u）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为
即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）
推广 设，则复合函数的导数为
2.例题分析
例1.求函数y=lnsinx的导数。
【答疑编号11030301：针对该题提问】 解 ∵y=lnu，u=sinx.
例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求。
【答疑编号11030302：针对该题提问】
例3.求y=sin5x的导数
【答疑编号11030303：针对该题提问】
例4.求函数的导数
【答疑编号11030304：针对该题提问】
解
例5.（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求的导数
【答疑编号11030305：针对该题提问】
例6.求的导数
【答疑编号11030306：针对该题提问】
例7.求的导数（a>0）
【答疑编号11030307：针对该题提问】
例8.求函数的导数
【答疑编号11030308：针对该题提问】
解
例9.（教材128页习题3.2，3题（5）小题）求的导数