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高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导数和微分【字体:大中小】【打印】3.1 导数概念一、问题的提出1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即切线MT的斜率为2.自由落体运动的瞬时速度问题二、导数的定义设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,当自变量x在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点处的导数,记为即其它形式关于导数的说明:在点处的导数是因变量在点处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导。

对于任一,都对应着f(x)的一个确定的导数值,这个函数叫做原来函数f(x)的导函数,记作注意:2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.导数定义例题:例1、115页8设函数f(x)在点x=a可导,求:(1)【答疑编号11030101:针对该题提问】(2)【答疑编号11030102:针对该题提问】三、单侧导数1.左导数:2.右导数:函数f(x)在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性。

【答疑编号11030103:针对该题提问】解闭区间上可导的定义:如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且及都存在,就说f(x)在闭区间[a,b]上可导.由定义求导数步骤:例3、求函数f(x)=C(C为常数)的导数。

【答疑编号11030104:针对该题提问】解例4、设函数【答疑编号11030105:针对该题提问】解同理可以得到例5、求例6、求函数的导数。

【答疑编号11030106:针对该题提问】解例7、求函数的导数。

【答疑编号11030107:针对该题提问】解四、常数和基本初等函数的导数公式五、导数的几何意义表示曲线y=f(x)在点处的切线的斜率,即切线方程为法线方程为例8、求双曲线处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。

【答疑编号11030108:针对该题提问】解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为六、可导与连续的关系1.定理凡可导函数都是连续函数.注意:该定理的逆定理不成立,即:连续函数不一定可导。

我们有:不连续一定不可导极限存在、连续、可导之间的关系。

2.连续函数不存在导数举例例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。

【答疑编号11030109:针对该题提问】解:例10、 P115第10题设,α在什么条件下可使f(x)在点x=0处。

(1)连续;(2)可导。

【答疑编号11030110:针对该题提问】解:(1)(2)七、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.导数的几何意义:切线的斜率;3.函数可导一定连续,但连续不一定可导;4.5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性3.2 求导法则3.3 基本求导公式一、和、差、积、商的求导法则1.定理:如果函数在点x处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x 处也可导,并且推论2.例题分析例1、求的导数。

【答疑编号11030201:针对该题提问】解例2、求的导数。

【答疑编号11030202:针对该题提问】解例3、求y=tanx的导数。

【答疑编号11030203:针对该题提问】解同理可得例4、求y=secx的导数。

【答疑编号11030204:针对该题提问】解同理可得例5、131页例2设,求.【答疑编号11030205:针对该题提问】二、反函数的导数1.定理:如果函数在某区间内单调、可导且,那么它的反函数在对应区间内也可导,且有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.例题分析例6、求函数y=arcsinx的导数【答疑编号11030206:针对该题提问】解同理可得例7、求函数的导数。

【答疑编号11030207:针对该题提问】解特别地三、小结:初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)可导,则例8、127页1题(6)(14)(15)(1)1题(6)小题【答疑编号11030208:针对该题提问】解:(2)1题(14)小题【答疑编号11030209:针对该题提问】解:(3)1题(15)小题【答疑编号11030210:针对该题提问】解:例9、115页3若一直线运动的运动方程为,求在t=3时运动的瞬时速度。

【答疑编号11030211:针对该题提问】解:例10、115页5求曲线的与直线y=5x的平行的切线。

【答疑编号11030212:针对该题提问】另一条求出来是四、分段函数的求导问题1.114页定理:设(1)如果函数在上连续,在上可导,且当时,则(2)如果函数在上连续,在上可导,且当时,则2.分段函数的求导问题举例例11、 116页11 求下列分段函数f(x)的:(1)【答疑编号11030213:针对该题提问】解:五、复合函数的求导法则1.复合函数的求导法则定理如果函数在点x0可导,而y=f(u)在点可导,则复合函数在点x0可导,且其导数为即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。

(链式法则)推广设,则复合函数的导数为2.例题分析例1.求函数y=lnsinx的导数。

【答疑编号11030301:针对该题提问】解∵y=lnu,u=sinx.例2.已知y=(2x2-3x+5)100,求。

【答疑编号11030302:针对该题提问】例3.求y=sin5x的导数【答疑编号11030303:针对该题提问】例4.求函数的导数【答疑编号11030304:针对该题提问】解例5.(教材133页习题3.3,1题(2)小题)求的导数【答疑编号11030305:针对该题提问】例6.求的导数【答疑编号11030306:针对该题提问】例7.求的导数(a>0)【答疑编号11030307:针对该题提问】例8.求函数的导数【答疑编号11030308:针对该题提问】解例9.(教材128页习题3.2,3题(5)小题)求的导数【答疑编号11030309:针对该题提问】例10.(教材128页习题3.2,3题(7)小题)求y=(sinnx)(cos n x)的导数【答疑编号11030310:针对该题提问】例11.求的导数【答疑编号11030311:针对该题提问】例12.求的导数【答疑编号11030312:针对该题提问】例13.求的导数【答疑编号11030313:针对该题提问】例14.求的导数【答疑编号11030314:针对该题提问】例15.(教材习题3.2,8题)已知在点x=1可导,求a,b。

【答疑编号11030315:针对该题提问】幂指函数、抽象的复合函数的求导例题一、幂指函数求导例1: x x【答疑编号11030401:针对该题提问】例2: y=(sinx)cosx求y'【答疑编号11030402:针对该题提问】二、抽象的复合函数求导例3:设f(u)可导,求下列函数的导数(1)f(lnx)+lnf(x)【答疑编号11030403:针对该题提问】解:(2)y=f(e-x)【答疑编号11030404:针对该题提问】解:(3)y= e f(x)【答疑编号11030405:针对该题提问】(4)【答疑编号11030406:针对该题提问】(5)【答疑编号11030407:针对该题提问】3.4 高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度。

设s=f(t),则瞬时速度为v(t)=f'(t)∵加速度α是速度v对时间t的变化率∴a(t)=v'(t)=[f'(t)]'定义如果函数f(x)的导数f'(x)在点x处可导,即存在,则称(f'(x))'为在点x处的二阶导数。

记作。

二阶导数的导数称为三阶导数,。

三阶导数的导数称为四阶导数,。

例4:y=3x2+sinx【答疑编号11030408:针对该题提问】一般地,函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作相应地,f(x)称为零阶导数;f'(x)称为一阶导数。

例5:求下列函数的二阶导数:(1)y=ax+b【答疑编号11030409:针对该题提问】(2)y=cos nx;【答疑编号11030410:针对该题提问】(3)y=e sinx【答疑编号11030411:针对该题提问】二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。

例6:求下列函数的n阶导数(1)y=e x【答疑编号11030412:针对该题提问】(2)y=x5【答疑编号11030413:针对该题提问】例7:设y=xμ求y(n)解:用数学归纳法可以证明:特别,当μ=n时,即y=xn,其n阶导数y(n)= (x n)(n)=n!【答疑编号11030414:针对该题提问】例8:【答疑编号11030415:针对该题提问】例9:设y=(x2+1)10(x9+x3+1),求y(30)【答疑编号11030416:针对该题提问】例10:设y=sinx,求y(n)。

【答疑编号11030417:针对该题提问】解……同理可得注意:求n阶导数时,求出1——3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n 阶导数.(数学归纳法证明)例11:设f(x)的n-2阶导数,求f(n)(x)。

【答疑编号11030418:针对该题提问】3.5 函数的微分问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.设边长由x0变到x0+△x,∵正方形面积∴是△x的线性函数且为△A的主要部分,是△x的高阶无穷小,当|△x|很小时可忽略。

微分的定义定义:设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,如果成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·△x为函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作微分dy叫做函数增量△y的线性主部。

(微分的实质)可微的条件定理:函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数f(x)在点x0处可导,且通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分,记作dx,即dx=△x即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数,导数也叫“微商”。

微分的几何意义几何意义:(如图)当△y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量,当|△x |很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN。

微分的求法求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分。

1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例1:设,求dy。

【答疑编号11030501:针对该题提问】例2:,求dy。

【答疑编号11030502:针对该题提问】例3:,求dy。

【答疑编号11030503:针对该题提问】微分形式的不变性设函数y=f(x)有导数f'(x)(1)若x是自变量时,dy= f'(x)dx(2)若x是中间变量时,同样有结论:无论x是自变量还是中间变量,函数y=f(x)的微分形式总是,这就是微分形式的不变性例4:设y=sin(2x+1),求dy。

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