的有界开区域 D (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 , 0 称
为点 P0 (x0 , y0 ) 的 邻域。
y
•
P0 (x0 , y0 )
·
01
x
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5
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规
定义域
x 一元函数 一个：
在数轴上讨论 （区间）
二元函数 两个：x, y 在平面上讨论
（区域）
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7
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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8
定义： 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
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16
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
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(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
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14
练习
1、 求二元函数 z e xy 的一阶偏导数。 2、 求二元函数 z arctan y 的一阶偏导数。
(请自己写出)
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11
由偏导数的定义可以看出，要求二元函
数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解： z
x
z x
2
x
(1, 2)
3y,
z y
3x
2y
z
y (1, 2)
·
01
x
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3
常见区域 y
y 2(x)
0 a y 1(x) b x
X 型区域
y
d
c x 1( y)
0
x 2(y)
x
Y 型区域
由 xa xb 由 yc yd
y 2 (x) y 1(x)
四条曲线围成
x 1( y) x 2 ( y)
四条曲线围成
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4
邻域:
平面上以点 P0 (x0 , y0 ) 为圆心， 0 为半径的圆内部构成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2u z2
3 r3
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
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偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f
y
(
x,
y
)
,
f2(x, y)
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10
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0
)
;
zx (x0 , y0 ) ;
注意:
f
x(
x0
,
y0
)
lim
x0
f (x0
x,
y0 ) x
f (x0 ,
y0 )
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同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
二元函数，记作 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，
函数 z 也称为因变量，x, y 的变化范围 D 称为函数的定
义域。
类似的，可以定义三元函数 u f (x, y, z) 及三元以上的函数。
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6
自变量个数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。
4、 求二元函数 z y ln(x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
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15
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
2z z
y 2
y
() y
exy (x y)y exy
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 .
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
17
例 5． 求二元函数 z e x y 的二阶偏导数。
解：z
x
exy (x
y)x
e x y
z y
exy (x
y)y
e x y
2z x 2
x
( z ) x
exy (x
y)x
exy
z2 z
xy
y
() x
exy (x
y)y
ex y
z2 ( z ) yx x y
ex y (x y)x ex y
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
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1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
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2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
闭开区域