第３４卷第１期 ２０１１年３月 长春理工大学学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ＶＯ｝．３４ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１ｌ
严格对角占优矩阵与ＳＯＲ迭代法的收敛性定理
宋岱才，敬长红，陈德艳
（辽宁石油化工大学理学院，抚顺１１３００１）
摘要：针对线性方程组的系数矩阵为 链严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况，讨论了线性方程组求
解时常用的ＳＯＲ迭代方法的收敛性，给出了迭代法收敛性定理，解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题。结果不
仅适用于这两类矩阵．还适用于广义严格对角占优矩阵类，最后举例说明了所给结果的优越性。 关键词：ａ．链严格对角占优矩阵；双严格对角占优矩阵；迭代法；收敛性
中图分类号：Ｏ２４１．６；Ｏ１５１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—９８７０（２０１１）０１－０１７０－０３
Ｄｉａｇｏｎａｌ Ｓｔｒｉｃｔｌｙ Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ Ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ ０ｆ ＳｏＲ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ
ＳＯＮＧ Ｄａｉｃａｉ，ＪＩＮＧ Ｃｈａｎｇｈｏｎｇ，ＣＨＥＮ Ｄｅｙａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ＆ＣｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｓｈｕｎ １１３００１）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆＳＯＲｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅ．ｏｄＯｒｓｏｌｖｉｎｇｌ ｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．ｗｈｅｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍａ－
ｔｒｉｘ ｉｓ ６ｃ—ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｏｒ ｄｏｕｂｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ，ａｎｄ ｓｏｍｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．
ｗｈｉｃｈ ｓｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆｓｐｅｃｔｒａｌ ｒａｄｉｕｓ ｏｆｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｒｅ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｆｏｒ。［一ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉ—
ｎａｎｃｅｍａｔｒｉｘｏｒｄｏｕｂｌｙｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｏｍｉｎａｎｃｅｍａｔｒｉｘ，ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓａｎｄａｒｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｉ—
ａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：口一ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ；ｄｏｕｂｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ
１基本概念及引理
给定线性方程组Ａｘ＝ｂ，其中Ａ∈Ｃ 为非奇异
矩阵，ｂ为，２维列向量。文献［１．７］对于迭代矩阵
为严格对角占优矩阵、 ．链严格对角占优矩阵和双
“．严格对角占优矩阵等情形分别讨论了常用的几种
迭代法的谱半径的上界估计问题。文献［８－９］针对
系数矩阵为以上对角占优的情况讨论了Ｊａｃｏｂｉ迭代
法、Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ迭代法以及ＪＯＲ迭代法的收敛性
问题。本文的主要工作是：针对方程组的系数矩阵
４为 一链严格对角占优矩阵以及双严格对角占优矩
阵，讨论了常用到的ＳＯＲ迭代法的收敛性，得到
几个重要的结论，解决了估计迭代矩阵谱半径的 界限问题。最后举例说明这一结果的适用性。
设方程组的系数矩阵Ａ分解为Ａ＝Ｄ—Ｌ—Ｕ，其
中Ｄ＝ｄｉａｇ（ａｌｊ＇ａ２：，…， ），一 是矩阵Ａ的严格
下三角矩阵，一魄矩 的严格上三角矩阵。ＳＯＲ
迭代法的公式为：
“’＝ ＋厂，ｋ＝０，１，２… （１）
其中Ｌ。＝（Ｄ－ｃｏＬ） ［（１一∞）Ｄ＋∞ 称为ＳＯＲ迭代法的
迭代矩阵，厂＝（Ｄ－ｃｏＬ）～ｂ， 称为松弛因子。ＳＯＲ
迭代法收敛的必要条件为Ｏ＜ｗ＜２。我们在文献
［８－９］基础上讨论ＳＯＲ迭代法的收敛性。
设 ＝（ ）∈Ｃ ，记Ｒ ）：∑ Ｉ． （，４）＝∑｛ ｌ， ｌ≠｜ｌ≠） ｉ∈Ⅳ ｛１，２，…， ）。
定义ｉ¨叫 设 ＝（ １∈ｃ” ，若对任意的ｉ∈
收稿日期：２０１０—０９—２６ 基金项目：国家自然科学基金项目（２０２７３０２８）；辽宁省教育厅高校科研项目（２００４Ｆ１００） 作者简介：宋岱才（１９５４一），男，教授，主要从事数值代数的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｄｃ１＠１６３．ｃｏｒｎ。
第１期 宋岱才，等：严格对角占优矩阵与ＳＯＲ迭代法的收敛性定理 ｌ７ｌ
Ⅳ，存在瑾∈［０，１］，皆有ｌａ ｌ＞ ） ），则称 为
６ｃ．链严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ 。若存在正对
角矩阵ｄ＝ｄｉａｇ ， ，…， ）使得ＡｄＥ Ｄ ，则称
为广义口一链严格对角占优矩阵，记为Ａ∈ＧＤ 。
定义２¨ 设 ∈Ｃ ，若 ∽，Ｖ
ｉ。ｊＥＮ成立，则称 为双严格对角占优矩阵，记为
Ａ∈Ｄ。若存在正对角矩阵ｄ＝ｄｉａｇ ， ，…， ），
使得 ∈Ｄ，则称 为广义双严格对角占优矩阵，
记为Ａ∈ＧＤ。
引理１［１叫 设 ∈Ｃ ，若Ａ∈Ｄｏ或Ａ∈
Ｇ ，则Ａ为非奇异矩阵。
引理２¨。。 设 ＝＝（ ∈Ｃ ，若Ａ∈Ｄ或Ａ∈
ＧＤ，则Ａ为非奇异矩阵。
引理３设 是一个常数，０＜０９＜１，则当Ｉ￣１－－１
时，总有１２－１＋０９１＞＿＿１２Ｉ．ｏ９＞０９。
证明首先证明不等式的左端成立。当４＝１
时，不等式显然成立。
当２＞１时， 一１＞０，又因为 １，所以有
一１ ∞ －１），即得到 一１＋０９＞，￣ｚｏ，即得到 一１＋０９１＞－ｌ
ｌ。
当 一１时，有１－４＞０，同理由０＜ １得，１一
∞（１－４），即１－２－０９＞＿－２０９，又由于１－２－０９＞０和
一２０９＞０，所以Ｉ１－２－０９１＞＿１－２０９ｌ，即 一１＋∞ｌ ∞ｌ。
其次，由于Ｉ，ｔｌ＞－１及０＜∞ １，所以有不等式的
右端自然成立。
２主要结论
定理１ ＥＤｏ鲥∈Ｊ［），则当松弛因子０９满足
０＜∞ １时，对任意初始向量解线性方程组Ａｘ＝ｂ的
ＳＯＲ迭代法都收敛。
证明首先证明当ＡＥＤｏ时，ＳＯＲ迭代法收
敛。
由条件知，对角矩阵Ｄ＝－ｄｉａｇ（ａ ａ：：，…，
ａｎ ）≠０。设 为ＳＯＲ迭代法的迭代矩阵 ＝ 一ｎ ）
［（１—０９）Ｄ＋缈 的任意特征值，则ｄｅｔ（２／－Ｌ ）＝ｄｅｔ
｛ 一 一ｃｏ／；）～Ｉ（１—０９） ＋＿ＣＯ ）＝０，Ｕ为单位矩阵），
即
ｄｅｔ（Ｄ一∞ ） ｛２（Ｄ—ｃｏＬ）一［（１—０９）Ｄ＋０９ ）＝０，
从而得，ｄｅｔ（Ｄ一∞ ）～・ｄｅｔ｛２（Ｄ一砒）一［（１一∞）Ｄ＋
∞ ）：０，由于ｄｅｔ（Ｄ—ｃｏＬ） ≠０，所以
必有
ｄｅｔ｛ 一１＋０９）Ｄ一２０９Ｌ－ｃｏ ＝Ｏ （２）
假设 ＝（Ｄ一０９Ｌ） ［（１＿∞）Ｄ＋∞ 至少存在一个 特征值１４１＞－１。由于Ａ∈Ｄ ，所以有
Ｉ Ｉ＞ ） ＋∽ ＋∽ （３）
对ｆ∈ 皖立。又由矩阵 的分解以及矩阵 ，
的结构知，
（ ）＝ （上＋ｔｏ＝ 肛）十Ｒ ，
）＝ ＋ｔｏ＝＆ ）斗 （∽ （４）
从而得到，对任意的ｉＥＮ， ∈［０，１］，皆有
Ｉａ。４＞尺 ） ）＝［尺旺）＋ （∽］ ・ ）＋Ｓ（ｔｏ］
成立。
由引理３知，此时 一１＋０９１＞－１２Ｉ．０９，上式左边
乘以１４－１＋ｏ９Ｉ，右边乘以 ∞ｌ，得
一１＋０９Ｉ．１ａ，，ｌ＞ｌＡ０９１ 肛）般ｌ（∽］ ・ ∞ ＩＳ， ）＋
（∽］ ［ ０９Ｌ）＋Ｒ ∞ ］。・ 砒 ∞ｔｏ］
由于１４１＞１，由上式得，
ｌ 一１＋ｏ９１．Ｉａ．Ｉ＞［Ｒ，（２０９Ｌ）＋Ｒ （０９∽］
［Ｓ，（２０９Ｌ）＋Ｓ，（２ＣＯｔｏ］
￣（２０９Ｌ＋０９ｔｏ・ （２ｍＬ＋ｍ∽＝
彤［ 一１＋∞）Ｄ— ∞Ｌ一∞ ・
［ 一ｌ＋∞ 一 ∞￡一∞
此说明 一１＋０９）Ｄ— 础一 ∈Ｄａ，由引理１得到
一ｌ＋０９）Ｄ－２０９Ｌ一∞ 乍奇异，与（２）式矛盾。所
以１２１＞＿１不 ＝（Ｄ一０９５） ［（１一ＣＯ ＣＯ 的特征值。
从而得知ｐ（三 ）＜ｌ，所以对任意初始向量解线性方程
组Ａｘ＝ｂ的ＳＯＲ迭代法都收敛。
其次，证明当Ａ∈Ｄ时，ＳＯＲ迭代法收敛。
由于Ａ∈Ｄ，则知，对Ｖｆ，ＪＥＮ，Ｉ口胁Ｉ＞Ｒ ）
母（，４）成立，由以上证明得知，对Ｖｆ，Ｊ∈Ｎ，
胁Ｉ＞［Ｒ肛）＋尺 （ ］．［ ） ∽］ （５）
同上，假设Ｌ ＝ 一ｃｏＬ） ［（１一∞ ０９ 至少存
在一个特征值１４１＞＿１。注意到引理３的结论，（５）
式左边乘以１４－１＋０９１ ，右边乘以１２０９１ 得，
Ｊ 一ｌ＋０９１１［ａ ，ａ．￣Ｉ＞Ｉ２０９１ ＥＲ ）＋ （∽］‘
ｌ ∞Ｉ ）斗Ｒ（ｔｏ－＝ＪＲ （２０９Ｌ）＋Ｒ ∞ｔｏ］．
［弓 ∞ ）十弓 ∞ｔｏ］
同样由于１４１＞＿１，上式变为
一１＋０９］ ｌａ， ｌ＞ （２０９Ｌ）＋Ｒ （０９ｔｏ］．
［Ｒ￣（２０９Ｌ）＋ 『＜∞ｔｏ］＝
Ｒ （２０９Ｌ＋０９ｔｏ・Ｒ￣（２０９Ｌ＋０９∽ （６）
又由于对Ｖｉ∈Ⅳ，总有Ｒ （２０９Ｌ＋０９ｔＯ＝Ｒ 一１＋０９）Ｄ一
２０９Ｌ—ＣＯ 成立。所以（６）式说明 一１＋０９）
Ｄ—