数学物理方法随谈
■熊宏华
利用数学知识解决物理问题是我们在教学中常常
用到的解题方法，而高中物理教学大纲也明确指出，
物理教学必须注意学生多方面能力的培养，其中特别
指出运用数学方法处理物理问题的能力．因此，培养
学生熟练运用数学工具解决物理问题是中学物理教学
中的重要任务之一，教师在平时的教学工作中要特别
注意物理问题和数学方法的有机结合，让学生在解决
物理问题的过程中植下数理结合的种子，让物理课堂
跳动起数学的音符．
一
、
数理规律相契相合
一
般物理问题的求解往往是通过寻求问题所遵循
的物理规律来布列方程，而方程的求解与定解通常是
既涉及数学规律的灵活运用，又涉及物理意义的数学
表达，数理结合的思想潜存于思维流程的各个环节．
【例１】位于同一水平面上的两根平行导电导轨，
放置在斜向左上方、与
水平面成６０。角足够大
的匀强磁场中，现给出
这一装置的侧视图（见
图１（ａ）），一根通有恒
定电流的金属棒正在导
轨上向右做匀速运动，
在匀强磁场沿顺时针缓
慢转过３０。的过程中，
金属棒始终保持匀速运
动，则磁感强度Ｂ的大
小变化可能是
Ａ．始终变大
Ｂ．始终变小
Ｃ．先变大后变小
Ｄ．先变小后变大
图１（ａ）
Ｇ
图１（ｂ）
解析：设通电的金属棒所受安培力与水平方向
成仅，棒与导轨问的摩擦系数为 ，金属棒受力见
图ｌ（ｂ），对金属棒由牛顿第二定律有：
Ｆｃｏｓａ－￣（ｍｇ－－ＦｓｉｎｃＯ＝Ｏ
Ｆ＝ＢｌＬ
解得：
瑷综蒿参
曰 面 ①
由数学规律知：
ｙ＝ａｃｏｓａ＋ｂｓｉｎｃｅ＝ ｓｉｎ（ｃ￣＋ ）
这里ｔａｎ￣Ｐ＝ ，将这一数学规律应用于方程①
有：
Ｂ＝———— 一—— ⑦
儿ｘ／１４ｇ２ ｓｉｎ（ｄ＋中）
从题设条件讲：金属棒所受安培力与水平方向所
成的角 的变化范围是：００≤仅≤３０。，而ｔａｎ ＝ ．
从物理意义讲：这里０ ＜１，所以４５。＜币＜９０。，
故②式中：４５。＜ ＋中＜ｌ２０。在这一变化范围中：
当４５。＜｛ｘ＋ｑｂ＜９０。时，Ｂ将随着 的减小始终变
大，Ａ答案对．
当４５。＜０＋中＜１２Ｏ。时，Ｂ将随着Ｏｌ＿的减小而先变
小后变大，Ｄ答案正确．
从这一题的解题过程不难看出：运用牛顿第二定
律得出方程①是顺理成章的事，但①式仍是一个迷
团，数学规律ｙ＝ａｃｏｓａ＋ｂｓｉｎａ＝、／ ＋６。ｓｉｎ（ ＋中）才
是解开这个迷团的钥匙，而运用这把钥匙解开迷团所
得到的②式并不能让我们得出明确的答案，与参考角
相关联的摩擦系数 的取值范围便成了我们定解的
重要依据．数理规律的契合在题目的预设中非常紧密，
数理方法的融合在解题环节自然就显得很重要了．
二、数理图形相关相联
在解决物理问题时偶尔会遇到一种特殊情况，一
组物理量和一组数学量有着奇妙的关联，而这种关联
还能直观地反应在情景分析图示上．
【例２】质量为Ｉｎ的小球Ｂ，用一根长为Ｌ的细
绳悬吊起来，放在半径为Ｒ的光滑球面上，如图２
（ａ）所示＿由悬点Ａ到球面的最短距离ＡＣ＝Ｓ，则小球
对球面的压力是多少？细线上的张力为多少？ （小球
ｍ的半径可以忽略不计）
解析：由图２（ｂ）知，小球Ｂ平衡，则拉力Ｔ
和支持力Ｎ的合力Ｆ应等于ｍｇ的大小．因ＡＢＴＦ与
离中２０ ｊ 篱２期
理综高参
（ｎ） （ｂ）
图２
ＡＡＢＯ相似，对应边成比例，故有： Ｎ Ｔ ｍ
＋
ｇ
则： 器， 器・
这里小球所受的三个力所构成的矢量三角形与情
景中的几何三角形相似，并且这种相似可以是动态
的、随机的，面对这样特殊的物理问题只有具备敏感
的数理意识才会迎刃而解．
三、数理图像相辅相成
图像法是求解物理问题时常用的一种方法，从数
学层面讲，图像是函数关系的直观表达，从物理层面
讲，函数关系又是物理规律的体现，因而用图像法解
题就是要将物理情景、物理规律、函数关系和图像表
达密切联系在一起，比如说画图像时，首先就要根据
物理情景定好时空坐标和相应的物理变量坐标，然后
要依据物理规律建立正确的函数关系，而在运用图像
分析解决问题时，就要弄清图像的坐标轴、坐标起点
及单位、斜率和纵横截距等信息点的物理意义．
【例３】一物体以初速度 。从底端沿粗糙斜面上
滑，若从底端滑至最高点之间的中点位置是Ａ点，
则物体在向上滑行的过程中，动能与重力势能相等的
位置
Ａ．在Ａ点上方 Ｂ．在Ａ点下方
Ｃ．在Ａ点Ｄ．不能确定
解析：如果要用图象
法求解此题，只用图像反
应出物体在沿粗糙斜面上
滑的过程中动能和重力势
能随位移变化的规律还不
能解决问题，必须将物体
沿粗糙斜面和沿同倾角的
图３（ａ）
光滑斜面上滑至最高点的Ｅ — 图像与Ｅ 图像都
表示出来，恰当地反应出异同点，并进行类比分析
才能找出结论． 物体沿光滑斜面上滑时，其重力势能Ｅ（以斜 面底端所在的水平面为零势能面）和动能随位移 变 化关系可推导如下（见图３（ａ））： 重力势能：Ｅｐ＝ｍｇｈ＝ｍｇｓｉｎａ・ 动 能： ＝ １ 。２一 ＝ １ 。２一， ｉｎ ・ 由此可见Ｅ 与 成正比，Ｅｔ与 也是线性关系， 其图像见图３—２中的两条交叉实线． 当物体在粗糙斜面上滑时，其重力势能Ｅ 随位 移年变化关系与在光滑 斜面上相同，但是动能 ￡ｋ 随位移ｘ变化关系就不 一样了，由功能关系有： ＝ １ ｍｙ５ 一 ＝ ，聊 一ｍｇｓｉｎ ． ｘ－ｐｍｇｅｏｓａ’ ： １ 。２一（ｍｇｓｉｍｙ ０一 一 图３（ｂ） ｎａ＋１．ｔｍｇｃｏｓａ）ｘ 比较可知： 一图线比Ｅｋ— 图线斜率的绝对值 更大（见图３（６）中的倾斜虚线），若物体沿光滑斜面 上滑，其Ｅ — 图像与Ｅ 图像的交点Ｂ表示动能 与重力势能相等，显然这点对应的位移是其最大位移 ‰的一半；若物体沿粗糙斜面上滑，其Ｅ —ｘ图像 （虚线表示）与Ｅ — 图像的交点ｂ表示动能与重力 势能相等，由数学知识可从图像中直观看出：这点对 应的位移大于其最大位移 的一半，即动能与重力势 能相等的位置在中点Ａ的上方，Ａ答案是正确的． 上面列举的三例都是既普通又常见的物理题，三 题的分析求解就说明物理中的参量变化、受力分析、 功能关系与数学中的函数、图形、图像等有着密不可 分的关联，只有把数学与物理充分联系起来，才会找 出科学处理问题的好方法． 物理学本身是探究物质最基本的运动及其规律的 一门科学．物理规律反映了各物理概念之间的相互制 约关系，是自然界中物理客体属性的内在联系，是事 物发展和变化趋向的反映．运用数学方法可以比较明 了地揭示物理规律的内涵和本质属性．在物理教学中 只有将数理结合起来，才能使学生对数学方法的应用 有全面的熟悉，并且能使学生在物理学习中各方面的 能力有较大的提高． ． （作者单位：清远市第一中学）
责任编校李平安
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