第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

教学重点： 1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－ 1，其符合右手规则。

即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。

坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。

图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。

4．空间两点间的距离。

若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：d 2222 M1M 2M1NNM 2222M 1 p pNNM 2而M 1 P x 2x 1PNy 2y 1NM 2 z 2 z 1所以d M 1M 2(x 2x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)d oMx 2 y 2 z 2例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。

2( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14证明 :M 1M 2M 2M 327) 2(21)2 (3 2)26(524) 2 (2 3) 2(3 1) 2 6M 3M 1(5由于M 2M 3M 3 M 1 ，原结论成立。

例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0,2 ,3)的距离为到点P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍，1求点 P 的坐标。

解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0)PP 1 x 2 2PP 2x212x 2 1132 2x 2212PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 22x1所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式作业：第二节向量及其运算教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点： 1.向量的概念 2.向量的运算教学难点：向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。

向量相等 a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

量的模：向量的大小，记为 a 、OM。

模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的运算1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－ 42．a b c即a( b) c b ca3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为(1)0 时，a 与a同向，| a || a |(2)0 时，a0(3)0 时，a 与a反向，| a | ||| a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0aa定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ ，使b＝a例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。

（见图7－ 5）图 7－4解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1(a b)1 (a 2由于 MC MA ，于是 MC b)21又由于a b BD 2 MD ，于是 MD(b a)21由于MB MD ，于是 MB a)(b2小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

作业：第三节向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。

教学重点： 1.向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点： 1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数满足AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当 AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴 u 上有向线段AB 的值，记做AB，即AB 。

设e是与u 轴同方向的单位向量，则AB e设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，(a,b)OB b，规定不超过的 AOB 称为向量a和b的夹角，记为空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A 作轴u的垂直平面，该平面与轴u 的交点A'叫做点 A 在轴u上的投影。

向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量AB 的起点A和终点B在轴 u 上的投影分别为点A'和 B'，那么轴u上的有向线段的值A' B '叫做向量AB在轴u上的投影，记做 Pr j u AB 。

2．投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr j u AB AB cos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr j u ( a1a2 ) Pr j a1Pr j a2性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。

即Pr j u ( a)Pr j a二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设 a = M1M2是以M1(x1, y1, z1)为起点、M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量， i 、 j、 k 分别表示图7－5沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－ 5，并应用向量的加法规则知：M 1M 2( x2x1 ) i +( y2y1 ) j+ (z2z1 ) k或 a = a x i + a y j + a z k上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。

有序数组 a x、a y、a z与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 a x、a y、 a z 就叫做向量 a 的坐标，并记为a＝ {a x， a y， a z}。

上式叫做向量 a 的坐标表示式。

于是，起点为M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 终点为 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 的向量可以表示为M 1M 2{ x2x1, y2y1 , z2z1 }特别地，点M ( x, y, z) 对于原点O 的向径OM { x, y, z}注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量 a 在坐标轴上的投影是三个数a x、 a y、 a z，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、a y j 、 a z k .2．向量运算的坐标表示设 a { a x , a y , a z }， b { b x ,b y , b z}即 a a x i a y ja z k，b b x i b y j b z k则加法：减法：a b (a x b x ) i(a y b y ) j( a z b z )k a b ( a x b x )i (a y b y ) j(a z b z )k乘数：a( a x ) i( a y ) j( a z )k或 a b{ a x b x , a y b y , a z b z }a b { a x b x , a y b y , a z b z}a { a x , a y , a z }平行：若 a≠ 0 时，向量b // a相当于b a ，即{ b x , b y ,b z}{ a x , a y , a z}也相当于向量的对应坐标成比例即b x b y b za x a y a z三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设 a{ a x ,a y ,a z} ，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量 a 的方向角，见图 7－ 6，其余弦表示形式 cos 、cos 、cos称为方向余弦。

模aa x2a y2 a z2方向余弦a x M1M 2cos a cos由性质1知 ay M1M2cos a cos，当a a x2a y2 a z20 时，a z M1M 2cos a cos有cos a x a xa a x2 a y2 a z2cosa y a ya a x2 a y2a z2cosa z a za a x2 a y2 a z2任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21与非零向量 a 同方向的单位向量为：a 0a1a { a x , a y , a z } {cos , cos , cos }a例子：已知两点M 1 (2,2, 2 )、 M 2 (1,3,0)，计算向量M 1 M 2的模、方向余弦、方向角以及与M 1 M 2同向的单位向量。

解： M1M 2＝ {1-2 ， 3-2 ，0- 2 }={-1，1，-2 }M1M2( 1)212( 2)22cos1， cos12 2， cos222，，3334设 a 0为与 M 1M 2同向的单位向量，由于a0{cos ,cos ,cos }即得a 0{1,1, 2 }222小结：本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。