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圆与圆的位置关系

几何方法直观,但不能 求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ=0, Δ<0时,不能判 圆的位置关系。
变式例题:已知 圆C1 :x2+y2+2x+8y-8=0 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
若相交,求两圆公共弦所在的直线方 程及弦长.
练习:求 x2+y2-10x-15=0 ① 与x2+y2-15x+5y-30=0 ② 的公共弦所在的直线方程。
例4.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x y 2x 6 y 5 0 切于点N(1,2)的圆的方程。
2 2
y
求圆G的圆心和半径r=|GM| 圆心是CN与MN中垂线的交点 两点式求CN方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程 O M C N
D
G
x
中点公式求D, kDG kMN 1
(1)
d
2 (2)2 (5 2) 2
5
两圆的半径分别为 r1 1和r2 4 d r 1 r 2 所以两圆外切。 解(2):将两圆的方程化成标准方程,得 x 32 y 2 16 x 2 ( y 3) 2 36 两圆的圆心坐标为(-3 , 0),(0 , -3),两圆的圆心距
2 2 x y 10x 10 y 0 例3.求半径为 3 2 ,且与圆
切于原点的圆的方程。
C (5, 5) A(a, b)
y
C、A、O三点共线
kCO k AO
5 0 b 0 5 0 a 0
ab
A O C B x
| AO | 3 2
a 2 b2 3 2
(0 a) 2 (0 b) 2 r 2 则有 (0 a) 2 (6 b) 2 r 2 a b 0
a 3. 解得 b 3. r 3 2 . ( x 3) 2 ( y 3) 2 18 。 所以所求圆的方程为:
(2)当两圆内切时, O1O2=3-2=1,即
(a 2) 2 1 1 ∴a=2
∴所求圆的方程式为 ( x 2)2 综上可知,所求圆的方程式为
Байду номын сангаас
( y 2)2 4
( x 2)2 ( y 2)2 4 或
( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4 或 ( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
r O2
x
圆C1:(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0) 圆C2:(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0) (1)利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关
系判断: ①|C1C2|> |r1+r2|
圆C1与圆C2相离
因为
两圆的半径分别为 r1 4和 r2 6
2 r 4 1 r2 d r 1 r2 10
d (0 3) 2 (3 0) 2 3 2
所以两圆相交 .
小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 2 2 2
C1 : ( x 1) ( y 4) 5
2 2
2
C1的圆心(1,4),半径为r1 5 C2的圆心(2,2),半径为r2 10
C1C2 (1 2)2 (4 2)2 3 5 |r 10 1 r 2 | 5 |r 10 1 r 2 | 5
△<0 △=0
n=0 n=1
两个圆相离
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
例1、已知 圆C1
2 2 :x +y +2x+8y-8=0
圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 : x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程: 解法一:
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程. 解法二: 设所求圆的方程为: x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上

∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
2 圆心距O1O2= ( a 2) 1
. (a,2)
O1
x
(1)当两圆外切时, O1O2=3+2=5,即 ∴所求圆的方程式为
(a 2) 2 1 5
∴a= 2 2 6
( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4 或 ( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4
练习:
1、已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x 相切,求圆C的方程。 2 2 ( x 4 ) ( y 3 ) 16. 解得: 外切
2 2 内切 ( x 4) ( y 3) 36.
2
y 1
2
练习:
2、求与圆O: x2 y 2
4 相外切,切点为
P(-1 , 3 )且半径为4的圆的方程。
C2 : ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( 10) 2
而5 10 3 5 5 10 即 | r1 r2 | 3 5 | r1 r2 |
所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A,B.
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 : x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法二:圆C1与圆C2的方程联立,得
所以,方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A,B.
练习:判断下列两圆的位置关系:
2 ( x 2)2 ( y 2)2 1与(x 2) ( y 5)2 16 2 2 2 2 (2) x y 6 x 7 0与x y 6 y 27 0 解(1):两圆的圆心坐标为(-2 , 2), (2 , 5),两圆的圆心距
消去y(或x)
圆心距d (两点间距离公式)
px 2 qx r 0
比较d和r1,r2的 大小,下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
总 结
几何方法 判断两圆位置关系 代数方法
各有何优劣,如何选用?
(1)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (2)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或相离
kMN ( yM yN ) /( xM xN )
例5.求半径为2,圆心在X轴上方且与X轴相切,与圆
Y
( x 2) O1:
2
( y 1) 9 相切的圆的方程。
2
2 2
( x a) ( y 2) 4 解:设所求圆O2的方程为:
O1(2,1),O2(a, 2),
②|C1C2|= |r1+r2|
圆C1与圆C2外切
③|r1-r2|< |C1C2|< |r1+r2|
圆C1与圆C2相交
④|C1C2|= = |r1-r2|
圆C1与圆C2内切
⑤ |C1C2|= < |r1-r2|
圆C1与圆C2内含
(2) 利用两个圆的方程组成方程组的实数解 的个数:
( x a) 2 ( y b) 2 r12 设方程组 2 2 2 ( x c) ( y d ) r2 的解的个数为 n
2 2 ( x 3) ( y 3 3) 16. 解得:
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程. 解法 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.
∵所求圆以AB为直径,
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
6.圆系方程:
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 若两圆相交,则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为 参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦 所在直线方程). ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l: Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆 系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参 数 ).
x2 y 2 2x 8 y 8 0 2 2 x y 4x 4 y 2 0
由(3)得 1 x y 2
(1) (2)
+ 2y -1 0 (1)-(2),得 x
(3)
代入 (1), 整理得
x2 2x 3 0 (4) 2 则 (2) 4 1 (3) 16 0
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