5 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平

台
（4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论；
（5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
三、有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 确定临界荷载的方法 静力法：根据临界状态的静力特征而提出来的方法。 能量法：根据临界状态的能量特征而提出来的方法。 1．静力法 在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的交叉点，求出临界荷载。
2．单自由度非完善体系的极值点失稳
3 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
（1）大扰度理论 平衡条件：
解得
图 16-6
由
，得
相应的极值荷载为
图 16-7
4 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
讨论势能
是位移 θ 的二次抛物线。
图 16-11
四、无限自由度体系的稳定—静力法 与有限自由度的区别：平衡方程是微分方程。
图 16-12
7 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
弹性曲线的微分方程
改写为：
其中
，解
引入边界条件得
非零位移条件
展开，得
2a ka
sin sin
2aq a sin
FR
a cos
0
整理得到， a2 sin (6q k cos ) 0 ，则 0 或者 q k cos
6
所以分支点的临界荷载为 qcr
k 6
（2）解法二，按小挠度理论计算
平衡条件为， 2aq 2a 2aq a ka a 0
整理得到， a2 (6q k) 0 ，则 0 或者 q k
，这就是新的平衡形式（上图有曲线 AC 表示）。
A 点为分支点，对应的临界荷载为：
路径Ⅱ的平衡是不稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是不稳定的。对于这类具
有不稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 16-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但不能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降 趋势。
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
图 16-2 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图 16-3 所示。
11 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
图 16-3
平衡条件为
2aq
FR
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 16-10
2．能量法 在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界 荷载。
弹簧应变能
，荷载势能
6 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
体系的势能为：应用驻值源自件，得取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位移有非零解。
图 16-13
五、无限自由度体系的稳定—能量法 以图示体系为例说明
8 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
令压杆的变形曲线为 弯曲应变能为
与 FP 相应的位移
荷载势能为 体系的势能为
图 16-14
由势能驻值条件
，得
令 矩阵形式
，
，则
9 / 43
图 16-8 非完善体系的失稳形式是极值失稳。 （2）小扰度理论
设
，
解得
，得平衡条件
图 16-9 与大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点；
1．分支点失稳（完善体系）
图 16-1
FP1 Fcr 时，压杆处于稳定的直线平衡状态；
FP2 Fcr 时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于曲线的平衡状态。
1 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平

台
2．极值点失稳（非完善体系）
图 16-2 在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡。 特征：平衡形式不会出现分支现象。
二、两类稳定问题计算简例 1．单自由度完善体系的分支点失稳
图 16-3
（1）大扰度理论
倾斜位置的平衡条件为：
考虑到
，得
第一个解为：
，这就是原始平衡形式（下图由直线 OAB 表示）。
2 / 43
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
图 16-4
第二个解为：
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
可简写为 由非零条件，得 最小根即为临界荷载。
16.2 课后习题详解
15-1 图示刚性杆 ABC 在两端分别作用重力 FP1、FP2。设杆可绕 B 点在竖直面内自 由转动，试用两种方法对下面三种情况讨论其平衡形式的稳定性： （a）FP1＜FP2。（b）FP1＞FP2。（c）FP1＝FP2。
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
第 16 章 结构的稳定计算
16.1 复习笔记
一、两类稳定问题的概述 稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，能回到原来的平衡状态。
不稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，继续偏离。 中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。 失稳：随荷载逐渐增大，结构的原始平衡位置可能由稳定平衡状态转化为不稳定状态。
图 16-1
解：（1） FP1 FP2 当 0 时，刚性杆处于稳定平衡；
10 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平

当
台
时，刚性杆处于不稳定平衡。
（2） FP1 FP2 当 0 时，刚性杆处于不稳定平衡；
当 时，刚性杆处于稳定平衡。
（3） FP1 FP2 角取任意值，刚性杆都会处于一种静止或动态平衡状态。
6
所以分支点的临界荷载为 qcr
k 6
15-3 试用两种方法求图示结构的临界荷载 FPcr。设弹性支座的刚度系数为 k。