3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。
A MAB EI,L
B
△
MBA
由力法求得：
M AB M BA
6 EI 6i 2 L L 6 EI 6i 2 L L
4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A。 EI A M AB 3 B 3i B
例3：
B C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：B C BC
F
例4：
E
A
D
D
C
有两个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为： E F C D EF CD
M AB i A M M BA
F i A M BA
F AB
利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。
例：
q B EI A
EI
C 杆长为：L 未知量为： B
BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端 支座发生了转角 B ，方向假设 为顺时针，杆端弯矩表达式：
EI 6 EI qL2 M BA 4 B 2 BC L L 12 EI 6 EI qL2 M AB 2 B 2 BC L L 12
未知量2个： B BC BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 3FP L 2 EI 在B端发生了转角 B 、以及在集 M BC 3 L B 16 中力作用下，杆端弯矩表达式： M CB 0
8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移△。
△ A B EA,L
FNAB
由力法求得：
EA△ L
EA△ L
FNBA
EA L EA L
● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的
弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。
● 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用
下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采 用叠加原理进行。
§7-2 等截面杆件的刚度方程
刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。
q B EI A 杆长为：L 未知量为： B EI C
刚结点B处：两杆杆端都发生了 角位移 B ；
对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 B 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。
B
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 例1： 例2：
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
B C
B
C
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
由结点平衡：
NDB
Y 0
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 平衡方程 NDA NDC EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
结构力学多媒体课件
城市与环境学院 李荷香
首先了解单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图
1)
A
θA
EI, l
B
A 1
X1=1
B
A 3EI A l A
B
M图
B FQ图
M图
11 X 1 A
1 1 2 l 11 l 1 EI 2 3 3EI
3EI A 2 l
3EI X1 A( l
例7：
A EA=∞ B
C
D
排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： AB
例8：
A EA=∞ C E B
D
G
F
两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的 竖向位移为零，但c结点有一转 角，因此该结构的未知量为： AB DC D
6 EI 2 X1 X 2 A l X1 2 X 2 0
4 EI X1 A( ) l
2 EI X2 A( ) l
A
4 EI A l
2 EI A l B
A
6 EI A 2 l
B
FQ图
M图
4)
A θA EI, l
l 11 EI
B
X1=1 A
M Bc EI qL2 3 B L 8 M AB 0
建立位移法方程：取B结点，应该满足:
B MBA MBC
EI M AB 4 A 4i A L 由力法求得： EI B MBA M BA 2 A 2i A L
2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 B 。 B
MAB A EI,L
由力法求得：
B MBA
EI M BA 4 B 4i B L EI M AB 2 B 2i B L
22
l3 3EI
2 X1 X 2 0 l 3 6 EI X1 2 X 2 3 l l
12 21
l2 2 EI
6 EI ( ) 2 l 12 EI X2 ( ) 3 l X1
6EI 2 l A
B M图
● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
A
45o D
△
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
杆 端 位 移 分 析 杆端力与杆端 位移的关系
D结点有 一向下的 位移
FP
由材料力学可知：
FNDB
2 DA伸长： 2 DC伸长： 2 2
6EI 2 l
θB
A
B
FQ图
12EI 3 l
6)
A
EI, l
B
依据3)，很容易得到 右图示内力图。
A 2EI l A 6 EI B 2 l
4EI l B
M图
B FQ图
Chapter 11 Displacement Method
基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载 作用下内力的计算。了解位移法方程建立有两种途径。 掌握对称性的利用。
A
B
结论： 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
例5：
A
B
C
D
例6：
A
B
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：
D C
AH AV BH BV DH .
MAB A EI,L
B
由力法求得：
L
MBA
M BA 0
5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。
MAB
A
EI,L
3EI 3i M AB 2 L L △ 由力法求得： B MBA M BA 0
6、一端固定一端滑动单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A。
B
B
q EI
C
BC杆
对于BA杆 ：其变形与受力情况相
当于：一根两端固定的单跨超静定 梁，在B端发生了角位移B的结果, 其杆端力也可以用力法求解。
B
B
A
BA杆
结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。
为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。
B
11 X 1 A
M 1图
A
EI A l
1
B
EI X1 A( ) l
M图
5) A
EI, l
B Δ
X1
X1=1
A l A
M 1图 M 2图
B 1 B
X2 =1
A
B
X2
11 X 1 12 X 2 0 21 X 1 22 X 2
l 11 EI
A
MAB
A
EI,L
B
MBA
EI M AB A i B L 由力法求得： EI M BA A i A L
7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。
EA△ L △ A EA△ L 由材力可L
EA L EA L
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB 2 FP 2 2 FNDA FNDC P 2 2
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
)
2) A EI, l B Δ l A
3EI 2 l
A
M图 B
M图
B X1=1
3EI 3 l
A FQ图 B
11 X1
l 11 3EI