1→ 1 → → 为平行四边形，依题意，DC＝FB＝ AB＝ b， 2 2 1→ 1 → → → → → BC＝FD＝AD－AF＝AD－ AB＝a－ b， 2 2 → ＝DF → －DE → ＝－FD → －DE → EF
1 1 1 1→ → ＝－BC－ DC＝－ a－2b－ × b 2 2 2
点评：(1)解答本题的关键在于紧扣向量共线 → ＝tAB → (t∈R)，然后转化为以 O 为 的条件得AP 始点的向量关系，化简得结论． → ，OB → 做基向量，根据 (2)本题也可以看做是用OA → ，如下跟踪训练题 4. 平面向量基本定理得到OP
►跟踪训练 → 、OB → 不共线，AP → ＝tAB → (t∈R)，用OA →， 4．设OA → 表示OP →. OB
1 ＝－a＋ b. 4
题型3 向量共线的其他表达形式
→ 、OB → 不共线，P 点在 AB 上， 例 4 设OA → ＝λ OA → ＋μ OB → ，且 λ＋μ＝1(λ ，μ ∈R). 求证：OP → 与AB → 共线， 证明：∵P 点在 AB 上，所以AP → ＝tAB → (t∈R). ∴AP → ＝OA → ＋AP → ＝OA → ＋tAB → ＝OA → ＋t → → ∵OP OB－OA → ＋tOB →， ＝(1－t)OA 令 λ＝1－t，μ＝t，则有 → ＝λOA → ＋μOB → ，λ＋μ＝1(λ，μ∈R). OP
►跟踪训练 3．如图所示，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC， 且 AB＝2CD，E、F 分别是 DC、AB 的中点， → ＝a，AB → ＝b，试用 a，b 为基底表示DC → ，BC → ，EF →. 设AD
→ 和AD → 是两个不共线向量，可以看做是一组 分析：AB → 和AD → 表示， 基底，一定可以把平面中的任一向量用AB 关键是找到 λ1 和 λ2 两个系数． 解析：连接 FD，∵AB∥DC，且 AB＝2CD，E、F 分 别是 DC、AB 的中点，∴DC 綊 FB，∴四边形 DFBC
→ ＝－2a＋8b，CD → ＝3a－3b 得BD → ＝a＋5b. 解析：由BC
题型2 用基底表示向量
例 2 已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的中线， → ＝a，AC → ＝b，则AD → ＝( 若AB 1 A. ( a－ b) 2 1 C．－ ( a＋b) 2 )
1 B．－ ( a－ b) 2 1 D. ( a＋b) 2
→ ＝AB → ＋AC → ，AE → ＝2AD →， 解析：如图所示，AE 由此即可得到答案． 答案：D
点评： (1)用已知向量来表示未知向量，一般要用 到平行四边形、三角形法则和平行向量的性质等运 算技巧． → ＝a， (2)把“AD 是△ABC 的 BC 边上的中线，若AB 1 → → AC＝b，则AD＝ (a＋b)”作为结论记住，有较为 2 广泛的应用．
点评：本题若利用向量的加减法法则，结合 M、N →和 为 DC、BC 中点的性质，可直接用 a、b 表示AB → ，但有一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以 AD → 、AD →来 根据“正难则反”的思想求解，即改为用AB → 、AD → 看做未知量，加以方 表示向量 a、b，然后将AB → 、AD → ，就容易多了． 程思想，求得AB
►跟踪训练 2．如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点， → ＝a，OB → ＝b，则OP → ＝____________， 若OA → ＝______________(用 a、b 表示)． OQ 1→ → → → → 解析：OP＝AP－AO＝ AB＋OA 3 1 → → → 2 → 1 → ＝ OB－OA＋OA＝ OA＋ OB 3 3 3 2 1 ＝ a＋ b. 3 3
→ ＝AB → ＋AD →. 解析：在平行四边形 ABCD 中，AC 在△ADC 中，M 为 DC 的中点， 1 → → → AM＝ AD＋AC， 2 1 → → → ∴a＝ AD＋AB＋AD.① 2 在△ABC 中，N 为 BC 的中点， 1 → → → AN＝ AB＋AC， 2 1 → → → ∴b＝ AB＋AB＋AD.② 2 2 2 → → 2 b － a 由①②解得AB＝ ( ) ，AD＝ (2a－b). 3 3
→ ＝tAB → (t∈R)， 解析：∵AP → ＝OA → ＋AP → ＝OA → ＋tAB → ＝OA → ＋t → → ∴OP OB－OA → ＋tOB →. ＝(1－t)OA
第二章
平面向量
2.3 平面向量的基本及坐标表示 ，e2 是同一平面内所有向量的一组基底， a ＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且 a，b 共线， 则下列各式正确的是( A．λ 1＝1 C．λ 1＝3 B．λ 1＝2 D．λ 1＝4 )
解析：a，b 共线，则存在实数 k，使得 a＝kb 即可 求解．但作为选择题，看到 a ＝λ1e1＋e2 中 e2 的系 数为 1，而 b＝4e1＋2e2 中 e2 的系数为 2，所以 λ1＝2. 答案：B 点评：若两个向量共线，则作为基底的两个向量相应 系数成比例．
►跟踪训练 1． → ＝a＋5b，BC → ＝－2a＋8b，CD → ＝3a－3b， 设AB 那么下列各组的点中三点一定共线的是(C) A．A、B、C C．A、B、D B．A、C、D D．B、C、D
2→ → → → → OQ＝AQ－AO＝ AB＋OA 3 2 → → → 1 → 2 → ＝ OB－OA＋OA＝ OA＋ OB 3 3 3 1 2 ＝ a＋ b. 3 3 2 1 1 2 答案： a＋ b a＋ b 3 3 3 3
例 3 如图，平行四边形 ABCD 中，M、N 分别 → ＝a，AN → ＝b，试用 是 DC、BC 的中点，已知AM → 和AD →. a，b 表示AB 分析：可以根据“正难则反”的思想求解，即改为 → 、AD → 来表示向量 a、b，然后将AB → 、AD → 看做 用AB → 、AD →. 未知量，加以方程思想，以求AB