必修4
平面向量基本定理
（1）uu小ur 明u从uurA到uBu，ur 再从B到C，则他两次的位移之和是：
AB BC AC 三角形法则
D
C
首尾相接，由首至尾
uuur uuur uuur
AB AD AC 平行四边形法则 A
B
共起点
（2）向量共线定理：
如果有一个实数，使b a(a 0), 那么b与a是共线向量；
解法一：PQ PA AD DQ PQ PC CB BQ
2PQ AD CB a b PQ 1 a 1 b
22
D P
A
C Q
B
②.当
90o时向量 a 、b
垂直;
记作：
a
b
注意：找两个向量的 夹角时，这两个向量
③.当 180o时向量a、b 反向
的起点必须相同！
④.当0o 180o时向量a、b 不共线
辨析2
你能在等边ABC中找到AB与BC、BC与AC、的夹角吗？
A
B
C
1、平面向量基本定理 2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一，关键是不共线 (2)实数对 1、2 的存在性和唯一性 ３、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理 4、夹角的判断
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
A
1.5Ae1
a
e1
b
B
o
2e2
B
e2
思 （1）根据已知向量 e1、e2能否作出所有形如 1e1 2e2的向量？ 考
思考（点击进入课件）
（2）任意一个向量a能够表示成形如1e1 2e2？ 探究（点击进入课件）
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 的向量，那么对于这一平面内的任一 向量a有且只有一对实数 1 、2 使
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC 若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
D
C
P
b
PD a 1 b 3
A
a
B
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC
D
若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
解: PD PC CD
A
a
PC 1 BC 1 b,
3
3
5、重要推论：AD mAB nAC, 且m n 1 B、C、D共线
1、若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，
则下面的四组向量中不能作为基底的是 (2)
(1)e1 e2和e1 e2；
(2)3e1 2e2和4e2 6e1；
(3)e1 3e2和e2 3e1； (4)e2和e1 e2；
a
a
2e1
3e1
3e2和b e1
5e2和b 6e1Fra bibliotek3 2 e2
10e2
D.
a
e1
2e2和b
5e1
7e2
例题（点击进入课件）
平面向量的夹角
已知a和b是任意两个非零向量
b
a
如图：作OA a
OB b
我们称AOB 为向量a、b的夹角
其中0 180
B
B
B
┐
O
B A
①.当 0o时向量a、b同向
a 1e1 2 e2
我们把不共线 的向量e1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底。
已知平行四边形ABCD中，那些向量能够作 为基底？
D
C
A
B
判断标准：这两个向量不共线
辨析1
若e1与e2是不共线的两个向量，则下列各组向量中
能够作为平面基底的是
( D)
A.
a
0和b
e1
2e2
B. C.
CD DC AB a
PD 1 b a 3
C P
b
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
C D
P
Q
A
E
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
引入（点击进入课件）
运用三角形法则作出形 如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
e2
A
B 2e2 1.5Ae1
B
a
e1
b
o
运用平行四边形法则作 出形如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1