特殊平行四边形第一节 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S矩形判定⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）求证：四边形BFDE 为矩形．AOD巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、正方形D 、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =B 、BD AC =C 、BD AC ⊥D 、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm26、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。

9、（2015春•遂宁期末）平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC ⊥BD ；③AB=BC ；④AC 平分∠BAD ；⑤AO=DO ．使得四边形ABCD 是矩形的条件有 ，是菱形的条件有 ．（填序号） 10、（2015•青羊区模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 ． 11、（2015•玉林）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点P 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），连接CP ，过点P 作PQ ⊥CP 交AD 边于点Q ，连接CQ ． （1）当△CDQ ≌△CPQ 时，求AQ 的长；（2）取CQ 的中点M ，连接MD ，MP ，若MD ⊥MP ，求AQ 的长．12、（2015•溧水县一模）如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．13、（2015•内江）如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB=BE ，连接DE ，EC ，DE 交BC 于点O ．（1）求证：△ABD ≌△BEC ；（2）连接BD ，若∠BOD=2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．14、如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。

15、（2015•得荣县三模）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ． （1）求证：OE=OF ；（2）若CE=8，CF=6，求OC 的长；（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．CEDF菱形和正方形A 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ ⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形.B 因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ ⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.相关公式：（1）菱形的面积计算公式： 平行四边形面积求法：=S 底×高（2）特殊求法：21=S 对角线的乘积题型1、菱形的性质和判定1、菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是 ，一组对边的距离为 ，面积是 。

2、（2015秋•兴化市校级期末）下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ） A ．对角线互相平分的四边形B ．对角线互相垂直且平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形3、已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm,BD=12cm,DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长。

4、如图菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：（1）ABC ∠的度数。

（2）对角线AC 的长。

（3）菱形ABCD 的面积。

5、如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AD 、CD 上的两点，且AE=DF. 求证：△ABE ≌△DBF.6、（2015春•丹江口市期末）将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长； （3）在（2）的条件下折痕EF 的长．题型2、正方形的性质和判定 1、（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A ．四条边相等 B ．对角线互相垂直平分 C ．对角线平分一组对角 D ．对角线相等 2、（2015•黑龙江）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．BEAO DBEAOFCDEBA3、正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 边上的点，且BF CE ⊥于M ， 求证：（1）ECB EBM ∠=∠；（2）AF=BE4、（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=CE ． （2）求∠BEC 的度数．5、（2015春•南安市期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是边BC 的中点，过点A 、D 分别作BC 与AB 的平行线，相交于点E ，连结EC 、AD ． （1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE 是正方形．巩固训练一、选择填空 1、（2015春•淮北期末）下列判断中错误的是（ ） A ．平行四边形的对边平行且相等B ．四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形BADEFMD．对角线相等的平行四边形是矩形2、（2015•滨湖区二模）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边3、（2015•钦州）如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90°D．AC=BD4、（2015•本溪二模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定5、（2015春•万州区校级月考）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（）①AC⊥BD ②∠BAD=90°③AB=BC ④AC=BD．A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③6、（2015•湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为．cm．7、（2015•江西模拟）如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是．8、（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．9、（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．10、（2015春•大石桥市校级期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为．11、（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C的坐标为．12、（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．二、解答题13、（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．14、（2015•北海）如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD 是菱形．15、（2013•山西模拟）如图，∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；（2）猜想：∠A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？16、（2015•秦淮区一模）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC 交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．17、（2015•滨湖区校级二模）如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．（1）求∠ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形．18、（2015•莘县三模）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF 交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．19、（2015•遵义）在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ． （1）求证：△AEF ≌△DEB ； （2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．20、如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．21、（2011•营口）已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且随着点P 的运动而运动，PE=PD 总成立． （1）如图（1），当点P 在对角线AC 上时，请你通过测量、观察，猜想PE 与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）； （2）如图（2），当点P 运动到CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；图1A D CBE 图2BCE D AF P F（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）22、（2015•乐陵市模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。