学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1
λ＝2
4，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．在平面内
D ．平行或在平面内
【解析】 ∵AB
→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1，1) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝
⎛
⎭
⎪⎫1，－3，32
D.⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1，3，－32
【解析】 对于B ，AP →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，4，－12，
则n ·AP →＝(3，1，2)·⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，4，－12
＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，3，32在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l 与α相交但不垂直
D ．l ∥α或l ⊂α
【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.
【答案】 D
5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.
【答案】 －10
7．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．
【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－3
2.
【答案】 16 －3
2
8．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．
【解析】 AB
→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP
→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP
→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴⎩⎨⎧2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴⎩⎨⎧λ＝－4，
μ＝1，
而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题
9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE
→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH
→＋mEF →.求证： 【导学号：18490106】
图3-2-6
(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG
→＝kOC →. 【解】 (1)由AC
→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)∵EG
→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD
→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC
→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG
→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． 【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1，0，
1)，AE →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1，12，
D 1F →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．
∵AE →·D 1F →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12，－1
＝12－1
2＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，
∴AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． [能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A ．(4，2，－2)
B ．(2，0，4)
C ．(2，－1，－5)
D ．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．
是( )
A ．(1，－4，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4，－1，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
4，1，－12 D ．(0，－1，1)
【解析】 因为PM
→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎨⎧n·
a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选
项D 不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的
三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．
【解析】 因为AB →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1，－3，－74
， AC →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－2，－1，－74，
又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，
－2x －y －7
4z ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－4
3y .
所以x ∶y ∶z ＝2
3y ∶y ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
PA＝BC＝1
2AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面
PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
【导学号：18490107】
图3-2-7
【解】分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0), 设E(0，y，z)，则
PE
→＝(0，y，z－1)，
PD
→＝(0，2，－1)，
∵PE
→∥PD→，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵AD→＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
CE
→＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得CE→⊥AD→，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝1
2.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.。