高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A.+-a b cB. -+a b cC. -++a b cD. -+-a b c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知则35,2,23+-=-+=（ ） A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1EM GDCBA10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。

15.在三角形ABC 中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n 与平面ABC 垂直，且|m则n 的坐标为 。

16.已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a||b,则λ与μ的值分别是 .三、解答题（本大题共5小题,满分70分）17．(12分) 已知空间四边形ABCD 的对边AB 与CD ，AD 与BC 都互相垂直，用向量证明：AC 与BD 也互相垂直． 18．（14分））如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值． 19．（14分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ； （3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 20．（15分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是 1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ；B A DC2）．x21．（15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小．空间向量与立体几何(1)参考答案11．0 12．－2 13． 4331121+--14．60° 15。

（2，-4，-1），（-2，4，1） 16。

1152，. 三、解答题（本大题共5题，共76分）17．证明：0=⋅∴⊥CD . 又-= ，0)(=⋅-∴CD CA CB 即⋅=⋅.……① 0=⋅∴⊥ .又-= ，0)(=⋅-∴即⋅=⋅.……②由①+②得：0=⋅+⋅即0=⋅.BD AC ⊥∴. 18． 解：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)(2)∵ → AB 1 ＝(0, -2, 2)，→ ED 1 ＝(0, 1, 2) ∴ |→ AB 1 |＝22 ，|→ED 1 |＝5 ，→ AB 1 ·→ ED 1 ＝0－2＋4＝2,∴ cos 〈→ AB 1 ，→ED 1 〉 ＝ → AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ ED 1 | ＝1与ED 1所成的角的余弦值为1010． 19．证：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A (0, 0, 0)，B (2a , 0, 2b , 0)，D (0, 2b , 0)，P (0, 0, 2c ) ∵E 为点，F 为PC的中点∴E(a, 0, 0)，F(a, b, c)(1)∵→EF＝(0, b, c)，→AP＝(0, 0, 2c)，→AD＝(0, 2b, 0)∴→EF＝12(→AP＋→AD) ∴→EF与→AP、→AD共面又∵E∉平面PAD∴EF∥平面PAD．(2) ∵→CD＝(-2a, 0, 0) ∴→CD·→EF＝(-2a, 0, 0)·(0,b, c)＝0∴CD⊥EF．(3) 若∠PDA＝45︒，则有2b＝2c，即b＝c，∴→EF＝(0, b,b)，→AP＝(0, 0, 2b) ∴ cos〈→EF，→AP〉＝2b22b·2b＝22∴〈→EF，→AP〉＝45︒∵→AP⊥平面AC，∴→AP是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90︒－〈→EF，→AP〉＝45︒．20．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），1D（0，0，1），E（1，1，21），F（0，21，0），则D1＝（0，21，－1），D＝（1，0，0），AE＝（0，1，21），则DAFD⋅1＝0，D⋅1＝0，D⊥∴1，D⊥1.⊥∴FD1平面ADE.（２）1B（1，1，1），C（0，1，0），故1CB＝（1，0，1），EF＝（－1，－21，－21），1CB⋅∴＝－1＋0－21＝－23，2341411=++=2=，则cos2322323-=⋅-==150=.21．解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设.DC a=(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22a aA a P a E底面ABCD是正方形，G∴是此正方形的中心，故点G的坐标为(,,0)22a a且(,0,),(,0,).22a aPA a a EG=-=-2PA EG∴=. 这表明EGPA∥.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，PA∴∥平面EDB。

(2)证明：依题意得(,,0),(,,)B a a PB a a a =-。

又(0,,),22a a DE =故022022=-+=⋅a aPB DE ∴⊥, 由已知EF PB ⊥，且,EF DE E =所以PB ⊥平面EFD.(3)解：设点F 的坐标为000(,,),,x y z PF PB λ=则000(,,)(,,)x y z a a a a λ-=- 从而000,,(1).x a y a z a λλλ===-所以00011(,,)(,(),()).2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---由条件EF PB ⊥知，0=⋅即22211()()0,22a a a λλλ-+---= 解得 13λ=。

∴点F 的坐标为2(,,),333a a a 且2(,,),(,,).366333a a a a a a FE FD =--=---03233222=+--=⋅a a a FD PB ,即PB FD ⊥，故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角.∵691892222a a a a FD PE =+-=⋅a a a a a a a a 3694996636369222222=++==++=2.1cos .2||||6a FE FD EFD FE FD ∴===3EFD π∴∠=,所以，二面角C —PC —D 的大小为.3π 江苏省海安高级中学期末复习测试空间向量与立体几何(2)姓名 班级第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++=D ．313131++=2．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．的是 （ ）A ．点p 关于x 轴对称的坐标是()1,,p x y z -B ．点p 关于yoz 平面对称的坐标是()2,,p x y z --C ．点p 关于y 轴对称点的坐标是()3,,p x y z -D ．点p 关于原点对称点的坐标是()4,,p x y z ---3．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A.1B.51C.53D.574．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A.−→−AG B. −→−CG C. −→−BC D.21−→−BC 5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．10106．已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为（ ）A. 0°B. 45°C. 90°D. 180° 7．已知点()1,3,4p --，且该点在三个坐标平面yoz 平面，zox 平面，xoy 平 面上的射影的坐标依次为()111,,x y z ，()222,,x y z 和()333,,x y z ，则（ ）A ．2221230x y z ++= B.2222310x y z ++= C. 2223120x y z ++= D.以上结论都不对 8、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A.715(,,)222- B.3(,3,2)8- C.107(,1,)33- D.573(,,)222-9、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅ 则△BCD是（ ）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 10、已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A.1010 B. 11112 C.53 D.1 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）FED 1C 1B 1A 1DCBAzyx SB CD AE z C 1B 1A 1D GCBA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11、若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________. 12．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB y AC z AS ++，则x ＋y ＋z ＝ ．13、已知()()2,4,,2,,26a x b y a a b ===⊥，若且，则x y +的值为 。