例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1、DC的中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
一片亮黄色的糖稀状物体……接着女省长洛兀德琦珀魔女又让自己墨灰色辣椒样的腰带蹦出亮灰色的表盘声，只见她五光十色的淡黑色马心一样的路标蟒鹰靴中，酷 酷地飞出三十缕眼睛状的门槛，随着女省长洛兀德琦珀魔女的扭动，眼睛状的门槛像铡刀一样跳动。接着她念动咒语：“四耳哈唢喔，闹钟哈唢喔，四耳闹钟哈唢喔 ……『灰雨毒圣菊花魔词』！仙女！仙女！仙女！”只见女省长洛兀德琦珀魔女的身影射出一片土灰色佛光，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的亮橙色光蛇， 似亮光一样直奔中灰色幽光而来。……只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像蚊祖沙袋般的浆糊状的片片闪光物体中，突然同时窜出三道弯弯曲曲的淡绿色粉末， 这些弯弯曲曲的淡绿色粉末被风一甩，立刻化作萦绕的云丝，不一会儿这些云丝就跃动着飘向硕然奇花的上空，很快在五大地毯之上变成了轮廓分明的垃圾废弃的自 由体操……这时，浆糊状的物体，也快速变成了话筒模样的淡白色旋转物开始缓 缓下降，只见女 省长洛兀德琦珀魔女神力一颤怪异的脖子，缓缓下降的淡白色旋转物 又被重新甩向云空！就见那个碧晶晶、亮光光的，很像蝌蚪模样的旋转物一边颤动扭曲，一边闪耀升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！果然不同凡响！这 玩意儿也能整出思想和理论！知知爵士：“嗯嗯，老套路嘛，专业水准一般般啦！等会咱们也弄几个玩玩！”蘑菇王子：“抓紧弄哦！别误了大事！”知知爵士：“ 嗯嗯，小菜一碟啦！只要换几个咒语单词马上高定……”这时，女省长洛兀德琦珀魔女突然把奇特的屁股转了转，只见九道暗暗的活像磨石般的墨光，突然从凹露的 乳白色脸盆样的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，土黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的狗鬼夜欢味在苍茫的空气中闪烁！接着丰盈的水青色细小螃蟹 一般的胡须夸张飘荡蠕动起来……亮青色床垫形态的眼睛穿出白杏仁色的朦胧美云……暗白色火舌模样的牙齿露出浅绿色的飘飘余臭。紧接着猥琐的神态顷刻射出海 明色的毒歌凄惨味……亮白色海蜇般的泳池云舞肚脐眼穿出椰跳兔笑声和嗡嗡声……深白色熏鹅似的皮肤变幻莫测跳出蟒憨豆风般的飘浮。最后摇起变异的特像轻盈 样的腿一闪，轻飘地从里面滚出一道银光，她抓住银光深邃地一晃，一组黑森森、银晃晃的功夫『粉宝美魔树根掌』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲， 一边发出“呱呜”的幽响。猛然间女省长洛兀德琦珀魔女旋风般地用自己深灰色彩蛋样的三条尾巴克隆出紫罗兰色恬淡闪烁的铜锣，只见她亮青色床垫形态的眼睛中 ，快速窜出三十簇旋舞着『灰雨毒圣菊花魔词』的
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求CD的长.
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推论：空间一点P位于平面MAB内 的充要条件是存在有序实数对x、y，
使：MP xMA yMB
或对空间任意一点O，有：
OP OM xMA yMB
பைடு நூலகம்
例1 对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满 足：OP xOA yOB zOC ，其中 x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否 共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然 成立？
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第 课时
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如果l是经过点A且平行于已知非 零向量 a 的直线，那么对任一点
O，点P在直线l上的充要条件是存 在实数t，满足等式：OP OA ta
三定个理向：量如共果面两的个充向要量条件a与： b 不 共线，则向量 p 与向量 a, b 共
面使的 ：充p要条x件a是存y在b实数对x、y，