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中考专题复习《动点问题》教学设计
【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不
重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问
大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的
题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】
知识与技能：1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问
题；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动
点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的
数据。 过程与方法：1、利用分类讨论的方法分析并解
决问题；2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价
值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学
生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学
重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。
【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型
中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教
学过程】 一、动点问题的近况：1、动态几何 图形
中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它
主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为
一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求
高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以
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及分析问题和解决问题的能力.
动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题
也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程
中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图
形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问
题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能
力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化
“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关
系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几
何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设
图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运
动的一类开放新题目。2、三年中考概况； 近年来运动
问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何
图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素
(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各
个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．3、解题策
略和方法：“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生
的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意
识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点
问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几
年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相
似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段
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或面积的最值。 从变换的角度和运动变化来研究三角
形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”
等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在
解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中
观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计
算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”
探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数
学本质。4、动点问题所用的数学思想： 解决运动型问
题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，
转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法
等。 二、探究新知1、一个动点：图形中一个动点所形
成的等腰三角形 【自主探究】 例1、如图：已知平
行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P从点A沿
AB边向点B运动，速度为1cm/s。 若设运动时间为t(s)，
连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ 分析：若
三角形PBC为等腰三角形 则PB=BC
7-t=4
t=3 AB
温馨提示：等腰三角形的性质：腰相等、底角相等、三
线合一 教师活动：利用几何画板进行动态演示，在某一
时刻静止，让学生观察图形的特点，利用等腰三角形的性质
解决问题。 学生活动：仔细观察几何画板中图形的运动
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过程，在静止时刻时，图形的 特点，将相关线段用含有
t的式子表示出来，从而列出方程。 归纳方法：1、定图
形；2、t已知；3、列方程。 【合作探究】 变式：
若点P从点A沿射线AB边向点B运动，速度为1cm/s。当t
为何D
内容需要下载文档才能查看内容需要下载文档才能查
看 值时，△PBC为等腰三角形？AB
内容需要下载文档才能查看 学生活动：小组合作探
究点P在射线上运动所形成几种情况，在利用（1） 中
得到方法。尽可能的将画出静止时的图形，从而解决问题。
教师活动：利用几何画板展示几种情况。2、两个动点：图
形中有两个动点的情况。 【自主探究】 例2：:如图．△
ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q分别从A、B
两点同时出发．分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度
分别为2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止
运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为 ______时，△PBQ
为直角三角形．P8师：1、根据刚才的方法，请同学们试着
画出静态图形，注意两个动点的速度问题。（两名学生在黑
板上板演）2、用代数式表示图中有用的线段：AP=2t,BQ=t,
所以：BP=6-2t。（学生讲解）3、找出等量关系（三角函数关
系），构建方程模型。 内容需要下载文档才能查看 温
馨提示：含有30度的直角三角形的性质； 教师活动：
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利用几何画板演示动态图形，让学生能感知静态时的图形。
学生活动：画出静态时的图形，并试着列出方程。 【变
换拓展】4（2014?新疆）如图，直线?x?8与x轴交于A点，
与y轴交于B点，动 3点P从A点出发，以每秒2个单位的
速度沿AO方向向点O匀速运动，同 时动点Q从B点出
发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当
一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运
动时间为t（s）（0＜t≤3）． （1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函 数关
系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？ （3）
当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形 与△ABO
相似，并直接写出此时点Q的坐标． 考点：一次函数综
合题 专题：压轴题 分析：（1）分别令y=0，x=0求解
即可得到点A、B的坐标； （2）利用勾股定理列式求出
AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到
AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°
两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解． 师：
对于第一道题快速解决即可。 解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，
解得x=6，x=0时，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴点A（6，0），
B（0，8）； 师：对于第二道题只需求解出三角形APQ的
高，做出图形的高，发现三角形APQ 与三角形AOB是相似
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三角形，利用相似比解决问题，得出高后，利用三角形面积
公式表示出S与t的关系式，发现是一个开口向下的抛物线，
顶点是（5,20），注意自变量t的取值范围，再求解最大面积。
此题对学生进行一定的引导。 （2）在Rt△AOB中，由
勾股定理得，AB===10，记点Q到AP的距离为h ∵点P的
速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP=2t，
AQ=AB﹣BQ=10﹣t，而三角形APQ与三角形AOB相似，∴
hAQh10?t? ∴? ∴h=（10﹣t） OBAB810
22∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t﹣10t）=﹣（t﹣5）
+20，∵﹣＜0，顶点为（5,20）而0＜t≤3，∴当t=3时，△
AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）+20=2； 师：对于
第三题：让学生讲解画图——引导其讲解等量关系是：三角
形相似比——列出方程。 （3）若∠APQ=90°，则cos∠
OAB=
∴解得t==，， ，，若∠AQP=90°，则cos∠OAB=
∴ 解得t==，，∵0＜t≤3，∴t的值为，=， ）×=
）， ，），此时，OP=6﹣2×PQ=AP?tan∠OAB=（2×∴点
Q的坐标为（综上所述，t=
，秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，
此时点Q的坐标为（ 点评：本题是一次函数综合题型，
主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面
积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，
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锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面
积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论 三、课堂小结
本节课主要探究了动态几何中的动点问题，其实是在动中求
静，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找
到解决问题的途径，总结：定图形、t已知、列方程。 解
决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，
函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，
数形结合法等.。