黄浦区2010年初三学业考试模拟考数学试卷（完卷时间：100分钟，满分：150分） 2010年4月22日考生注意：所有答案都写在答题卷上一、选择题【每题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的】（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.4与6的最小公倍数是( )(A )2. (B )4. (C )6. (D )12. 2.化简()23a的结果是( )(A )5a . (B )6a . (C )8a . (D )9a .3. 二元一次方程32=+y x 的解的个数是( )(A )1. (B )2 . (C )3. (D )无数.4.下列图形中，中心对称图形是( )(A ) (B )(C ) (D )5.函数43-=x y 的图像不经过（ ）（A ）第一象限. （B ）第二象限. （C ）第三象限. （D ）第四象限.6.以等边ABC ∆的三个顶点为圆心的⊙A 、⊙B 与⊙C ，若其中⊙A 与⊙B 相外切，⊙A 与⊙C 也外切，而⊙B 与⊙C 相外离，则⊙A 的半径A R 与⊙B 的半径B R 之间的大小关系是( )(A ) A R >B R . (B ) A R =B R . (C ) A R <B R . (D )以上都有可能. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：=+-+1112x x x .PDCB AA 1 NM CBAB 121l 3l 2 l 1 8.不等式组⎩⎨⎧<-≥+0201x x 的解集是 .9.分解因式：=-++1222y xy x . 10.方程352=+x 的解是 .11.任意掷出一枚质地均匀的骰子后，骰子朝上面的点数为素数的概率是 . 12.抛物线342--=x x y 的顶点坐标为 .13.如果关于x 的方程032=+-k kx x 有两个相等的实数根，那么k 的值为 . 14.如果反比例函数xky =的图像经过点()1,2与()n ,1-，那么n 的值为 . 15.如图1，直线l 1、l 2被直线l 3所截，如果l 1‖l 2，∠1=︒48，那么∠2= 度.16.如图2，在梯形ABCD 中，AB ‖CD ,CD AB 2=，AC 与BD 交于点P ，令b BC a AB ==,，那么=AP .（用向量a 、b 表示）（图1） (图2) （图3） （图4）17.如图3，⊙O 的半径为5，点P 是弧AB 的中点，OP 交AB 于点H ，如果1=PH ，那么弦AB 的长是 .18.如图4，在ABC ∆中，∠ACB =︒90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题10分）计算：()12211260sin 8-︒+++.20.（本题10分）小明在寒假中对他所住的小区学生作了有关上海世博会各国展馆的认识度调查，他随机对他所住小区的40名初中学生调查了对中国馆、捷克馆与法国馆认识情况如下图，接着他又到居委会了解他所住的小区学生数情况如下表.（1）从统计图中可知他所住的小区初中学生中对____________馆的认识度最高； （2）请你估计他所住的小区初中学生中有_____________人认识捷克馆；O BAPHyNN MD C B A O y不认识 展馆人数 认识 法国馆 捷克馆 中国馆 28 35 40 D CB A （3）小明用下面的算式()1602002404035++⨯，计算得到结果为525，并由此估计出他所住的小区共有525名学生认识法国馆.你认为这样的估计正确吗？答：___________；为什么？答：_______________________________________________________.初中学生展馆认识情况统计图学生人数情况表学 段 小 学 初 中 高 中 人 数24020016021.（本题10分）如图5，在梯形ABCD 中，AD ‖BC , ∠B =︒90,AC =AD .(1)若∠BAC ∶∠BCA =3∶2,求∠D 的度数； (2)若AD =5,tan ∠D =2，求梯形ABCD 的面积.（图5）22.（本题10分）动车组的出现使上海到杭州的旅程时间较一般的火车缩短了许多，而计划中上海到杭州磁浮列车的平均速度又将比动车组提高120千米/小时，这样从上海南站到杭州站225千米的旅程时间又将缩短30分钟，问计划中上海到杭州磁浮列车的平均速度将达到多少千米/小时？ 23.（本题12分）如图6，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ， 对角线AC 与BD 交于点O ，M 、N 分别为OB 、OC 的中点，又∠ACB =∠DBC . (1)求证：AB =CD ；(2)若AD =21BC .求证：四边形ADNM 为矩形. （图6） 24. （本题12分）已知点P 是函数x y 21=（x >0）图像上一点，P A ⊥x 轴于点A ，交函数x y 1=（x >0）图像于点M , PB ⊥y 轴于点B ，交函数xy 1=（x >0）图像于点N .（点M 、N 不重合）（1）当点P 的横坐标为2时，求△PMN 的面积；（2）证明：MN ‖AB ；（如图7）（3）试问：△OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由.PO NM P O N MFE D C BA（图7） （备用图） 25、（本题14分）如图，一把“T 型”尺（图8），其中MN ⊥OP ，将这把“T 型”尺放置于矩形ABCD 中（其中AB =4,AD =5），使边OP 始终经过点A ，且保持OA =AB ，“T 型”尺在绕点A 转动的过程中，直线MN 交边BC 、CD 于E 、F 两点.(图9)（1）试问线段BE 与OE 的长度关系如何？并说明理由； （2）当△CEF 是等腰直角三角形时,求线段BE 的长；（3）设BE =x ,CF =y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域.(图8) （图9）2010年黄浦区初三数学学业考试模拟考参考答案与评分标准一、选择题1、D ；2、B ；3、D ；4、C ；5、B ；6、A .二、填空题7、1-x ； 8、x ≤-1<2； 9、()()11-+++y x y x ； 10、2±；11、21； 12、()7,2-； 13、0，12； 14、2-； 15、132； 16、b a 3232+； 17、6； 18、0.8.三、解答题19、解：原式1212382++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，———————————————（2+2+1=5分） 124322-++=，————————————————————（3分）4123-=.—————————————————————————（2分）20、解：（1）中国；———————————————————————————（3分） （2）140.————————————————————————————（3分） （3）不正确；———————————————————————————（1分）对初中学生随机抽样的结果并不能表示小学生与高中生的结果，缺乏代表性.————————————————————————————————————（3分） 21、解：（1）在ABC ∆中，︒=∠90B ，则︒=∠+∠90BCA BAC ，——————————————————（1分） 又∠BAC ∶∠BCA =3∶2， ∴∠BCA =︒︒=⨯369052.———————————————————（1分） ∵AD ‖BC ，∴︒=∠=∠36BCA CAD .————————————（1分）又∵AC =AD ，∴()︒︒=∠-=∠=∠7218021DAC ACD D .————（2分） （2）作AD CH ⊥，垂足为H ，——————————————————（1分） 在CDH Rt ∆中，tan ∠D =2，令k CH k DH 2,==，———————（1分） 则在ACH Rt ∆中，222CH AH AC +=,————————————（1分） 即()()222255x x +-=，解得：2=x .————————————————————————（1分） 则35,42=-====x AH BC x CH ，∴()1645321=⨯+⨯=ABCD S 梯形.———————————————（1分） 22、解：设磁浮列车的平均速度为x 千米/小时，—————————————（1分） 则21225120225=--x x ，————————————————————（5分）整理得：0540001202=--x x ，———————————————（1分） 解得180,30021-==x x .——————————————————（1分） 经检验，两根均为原方程的根，但1802-=x ，不合题意，舍去.——（1分） 答：计划中上海到杭州磁浮列车的平均速度将达到300千米/小时.————（1分）23、证明：（1）∵∠ACB =∠DBC ，∴OC OB =，———————————————————————（2分） ∵AD ‖BC ，∴OBOCOD OA =，即OD OA =——————————————————（2分） ∴BD AC =,————————————————————————（1分）∴梯形ABCD 为等腰梯形，即AB =CD .——————————————（1分） （2）∵AD =21BC ，AD ‖BC ， ∴21==BC AD OC OA ,又N 为OC 的中点，—————————————（2分） ∵OA ON =，————————————————————————（1分） 同理OD OM =，又OD OA =.————————————————（2分）∴四边形ADNM 为矩形.———————————————————（1分）24、解：（1）∵点P 是函数x y 21=（x >0）图像上一个点，当点P 的横坐标为2， ∴点P 为（2，1），——————————————————————（1分） 由题意可得：M 为（2，21），N 为（1，1），———————————（2分） ∴4121121=⨯⨯=∆PMN S .———————————————————（1分） （2）令点P 为()a a ,2，（a >0）———————————————————（1分）则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a N a a M a B a A ,1,21,2,,0,0,2， ∴211221,212=--===aa a a PNPM a a PB PA ，—————————————（1分）即PNPMPB PA =————————————————————————（1分） ∴MN ‖AB .—————————————————————————（1分） （3）由（2）得，222222414,1aa OM a a ON +=+=， 2222245552112a a a a a a MN +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，易知︒≠∠90MON . ∴当︒=∠90ONM 时， 有22222245551414a a a a a a +-++=+， 解得22,221==a a (舍去)，即点P 为()2,22.——————（2分） 同理当︒=∠90OMN 时，点P 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛42,22.——————————（2分）综上所述，当点P 为()2,22与⎪⎪⎭⎫⎝⎛42,22时，能使△OMN 为直角三角形. 25、解：（1）线段BE 与OE 的长度相等. —————————————————（1分）联结AE ，在△ABE 与△AOE 中，∵OA =AB ，AE =AE ，︒=∠=∠90AOE ABE ，——————————（2分） ∴△ABE ≌△AOE . —————————————————————（1分） ∴BE =OE .（2）延长AO 交 BC 于点T ，———————————————————（1分） 由△CEF 是等腰直角三角形，易知△OET 与△ABT 均为等腰直角三角形.————————————（1分） 于是在△ABT 中，AB =4，则AT =24，—————————————（2分）∴BE =OE =OT =424-.————————————————————（1分）（3）在BC 上取点H ，使BH = BA =4，过点H 作AB 的平行线，交EF 、AD 于点K 、L ，（如图）————————————————（1分） 易知四边形ABHL 为正方形 由（1）可知KL =KO令HK =a ,则在△HEK 中，EH =4–a , EK =a x -+4,∴()()22244a x a x -+=+-，LOFEDCBAKH化简得：xxa +=48.—————————————————————（1分） 又HL ‖AB ，∴x xEH EC a y --==45，即2216840x x x y --=.————————————（1分） ∴函数关系式为2216840xx x y --=，定义域为0<2≤x .—————（1+1=2分）。