第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1. 平面向量的概念:2. 向量的表示：（常见的2个向量）3. 相等向量与共线向量:【典型例题】题型一向量的基本概念例1.给出下列命题：①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若a=b, b=c,则a=c；④若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定；⑤若|a|=|b|贝U a=b。
⑥若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个例2下列命题正确的有_________________①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量④有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的表示例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北45°走了200km到uuu uuu uuu UULT 达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.（1）作出向量AB , BC ,CD ;（2）求AD题型三相等向量与共线向量例4如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量，共线的向量。
题型四利用向量解决多点共线的问题uuu uuir例5.如图，四边形ABCD中，AB DC，P,Q是AD，BC上的uuu uuir uuu uur点，且BP QD,求证：AP QC综合练习：1. 下列命题中，正确的是（）A. 若|a|=|b|,则a=bB.若a=b，则a与b是平行向量C.若|a|>|b|则a>bD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量2•下列说法中错误.的是（）A.零向量是没有方向的B•零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3•把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______4. ________________________________________________________ 已知非零向量a // b,若非零向量c // a,则c与b关系是_____________________________________________ .5•已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线,则c与b必定__________6. 判定下列命题的正误：①零向量是惟一没有方向的向量。
（）②平面内的单位向量只有一个。
（）③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。
（）④向量a与b是共线向量，b // C,则a与c是方向相同的向量。
（）⑤相等的向量一定是共线向量。
（）7. 下列四个命题中，正确命题的个数是_________①共线向量是在同一条直线上的向量②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的④若四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD , BC与AD分别共线2.2平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1. 向量的加法:2•向量加法的平行四边形法则:3.向量的加法的运算率:4.向量的减法:5. 向量减法的平行四边形法则:6.向量数乘的概念:7•向量的数乘的性质:8.向量共线的条件:9.向量的线性运算10.向量证明三点共线:三角形的中线与重心公式:—> 1 —> 1 1 —> —> —> ②BE = a + 2 b ③CF = - 2 a + ? b ④AD + BE + CF = 0•其中正确的命题个数为【典型例题】 题型一向量的加减法uuu uuu uuuuuu uuur uuu uuu A. AB BC CAB. OA OC BO CO uuu uuur uuur uuur uuur uuu uuu u uu urC. AB AC BD CDD. NQ QP MN MP r 例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为 0的是（） 例2.如图所示，D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点, 则 AF DB =() BA. FDB. FCC. FED. BE 题型二向量的作图-uuu uuu例3已知在矩形 ABCD 中，宽为2,长为2.3 , AB a, BC uuur b, AC c,试作出向量a+b+c ，并求出其模的大小 a b 、cd. 例4.已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量 题型二 用已知向量表示未知向量 例5.如图所示，OADB 是以向量OA = a , OB =b 为边的平行四边形, 1 1 「 「 -------- P ' r又 BM= — BC , CN= — CD .试用 a , b 表示 OM , ON , MN . 3 3B D变式：设E 、F 分别为 △ ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC = a , CA = b ,给出下列命题: ( ) A.1 B.2 C.3 D.4① AB =- I a - b题型四向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量e、e2不是平行向量（1）如果AB =e-\ + e2，BC =2 e +8 e2，CD =3（e e2），求证A、B、D 三点共线;（2）试确定实数k的值，使k q + e，和e + ke2是两个平行向量.例7.已知0是Y ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB =a, BC =b, OD =c，试证明：c+a-b=OB .综合练习：1•下列命题正确的有____________①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量③若a, b满足|a|>|b|且a与b同向，贝U a>b④对于任意向量a、b,必有|a+b|毛||b|2. 以下四个命题中不正确的有_____________①若a为任意非零向量，则a// 0②|a+b|=|a|+|b|③a=b,则|a|=|b|,反之不成立④任一非零向量的方向都是惟一的3. 已知| AB | 6,| AC | 4，则|BC |的取值范围为_________________4. 设（AB +CD ）+ （BC + DA ）= a,b丸，则在下列结论中，正确的有________①a // b ；②a + b = a ；③a + b = b ；④| a + b |v| a | + | b |uuu uur uuur uuur5. 化简AB BC CD DA6. 如图，在四边形ABCD中,根据图示填空：a+b= ____ , b+c= _____ ,c-d= ______ ,a+b+c-d= _____2.3 平面向量2.3.1平面向量基本定理【知识点归纳】1•平面向量的基本定理:2•向量的夹角:【典型例题】题型一基底的判定例1.设e i、e2是同一平面内的两个向量，则有（）A. e i、e2 一定平行B. e i、e2的模相等C. 同一平面内的任一向量a都有a = Q+ ©（入卩€ R）D. 若e i、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a = ?e i+ue2（入u€ R）题型二用基底表示向量例2.已知a=-e i+3e2, b= 4e i+2e2，其中e i, e2不共线，向量c=-3e i+i2e2,用试用a, b作为基底来表示c题型三向量的夹角例3.已知两个非零向量a, b的夹角为80°,求下列向量的夹角:（i） a 与-b （2）2a 与3b练习：1. 已知向量a = e i-2e2, b =2e i+e2，其中e i、e2不共线，则a+b与c =6e i-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2. 已知向量e i、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）e什（2x-3y）e2=6e什3e2，贝U x-y的值等于（）A.3B.-3C.0D.23. ______________________________________________________________ 已知a、b不共线，且 c =入a+ A?b（汕R）,若c与b共线，则乃= _________________________________ .【知识点归纳】1•平面向量的正交分解:2•平面向量的坐标表示:3.平面向量的坐标运算:4.平面向量共线的表示:5.三点共线: 232平面向量的正交分解及坐标表示233平面向量的坐标运算2.3.4平面向量的共线的坐标表示【典型例题】 题型一求向量的坐标例 1.已知点 A (2, 2) B (-2, 2) C (4, 6)D (-5, 6) E(-2, -2)F (-5, -6)uuv uu/ uuv uuv uiv uuv在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF 并求向量AC BD EF 的坐标。
题型二 平面向量的坐标运算r r rrrrrr例 2 已知 a =(2，1)， b =(-3，4)，求 a + b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点•练习：---- 1 ---------1.若 M(3 , -2)N(-5 , -1)且 MP MN , 求 P 点的坐标22 .若 A(0,1) , B(1 , 2) , C(3 , 4),则 AB 2 BC =.3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()A . a (0,0), b (1, 2)B . a (1,2), b(5,7) v C . a (3,5) b (6,10) v D . a (2, 3*(4, 6)A . (6, 8) B . ( 3, 6 )C . (6,8)D .(6, 8)5 .已知平面向量 a (1,2)—►，b (m,n)，且2ab ，则2a 3b 等于()A . (2, 4)B . (3, 6)C . ( 5,10 )D .(4, 8)r r r r r r4.已知 a (3,2) , b(0, 1)，贝U 2a 4b 等于( ) 6.已知：(2,3) , b ( 1,2)，若ka b 与a kb 平行，则k 等于().例4已知三个力 F-i (3， 4)，F 2(2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0，求 F 3 的坐标.「_L r r7•已知a (5,2) , a ( 7, 2)，则4a 3b 的坐标为__________________ .8 .已知a (2, 4) , b ( 1,3) , c (6,5) , p a 2b c，则以a , b 为基底，求p .题型三向量共线的证明及判定例5.已知A(-1 , -1) , B(1 , 3), C(1 , 5) , D(2 , 7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？题型四向量共线求参数例6 已知 a (4,2) , b (6,y)，且a//b，求y .练习：1. 若向量a=(-1 ，x)与b =(-x，2)共线且方向相同，则x为_________ ,r 3 r 1 r r2. 设a (-,sin )，b (cos ,-)，(0,2 )，且a//b，求角2 3题型五三点共线例2:已知A( 1, 1), B(1,3) , C(2,5)，求证A、B、C 三点共线.例3:设点P是线段P1P2上的一点，P i、P2的坐标分别是(x i，y i)，(X2, y2).(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标•练习:1若a=(2, 3), b =(4, -1+y),且a // b，则y=( )A.6B.5C.7D.82若A(x, -1), B(1 , 3), C(2, 5)三点共线，贝U x的值为( )A.-3B.-1C.1D.33若AB=i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB 与DC共线，则x、y的值可能分别为( )A.1 , 2B.2, 2C.3 , 2D.2 , 44•已知a=(4, 2), b =(6, y)，且a // b，贝y y= ___________ .5•已知a=(1, 2), b =(x, 1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为_______________2.4平面向量的数量积241平面向量数量积的物理背景及含义【知识点归纳】1.平面向量的数量级的概念：2•平面向量数量积的几何意义:3.向量数量积的性质:【典型例题】题型一平面向量数量积的基本概念例1.给出下列命题：①右|a|=|b| ,则a=b或a=-b ;②|a • b|=|a||b| ;③a • b=Oa=O或b=0;④右a //b 且b / c,贝U a / c。