图（5）CE D PBA 与轴对称相关的最值问题【典型题型一】：如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。

这时三角形CBE 1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。

所以选（D ）。

2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（A ） 4+185英里 （B ） 16英里 （C ） 17英里 （D ） 18英里3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。

已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得，DC'= 55．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 106．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3 7．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小值直角△BCD 中，CH = 205错误！未定义书签。

直角△BCH 中，BH = 8 5 △BCC'的面积为：BH ×CH = 160所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16FPB'EＡＣＢＣ'DＡＣＢEPE B CD AH PEC'DACB8．如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；点C 关于BD 的对称点是点A ，过点A 作AE ⊥BC ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值在等腰△EAB 中，求得AE 的长为5 29．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )A 2 2B 2C 1D 2即在MN 上求一点P ，使PA+PB 的值最小作点A 关于MN 的对称点A'，连接A'B ，交MN 于点P ，则点P 就是所要作的点A'B 的长就是PA+PB 的最小值连接OA'、OB ，则△OA'B 是等腰直角三角形所以 A'B = 210如图，一次函数 y = 12x 与反比例函数y = kx 交于点A ，AM ⊥x 轴于点M ，S △OAM = 1(1)求k 的值，(2)点B 为双曲线y=kx 上不与A 重合的一点，且B(1，n)，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小(1)由S △OAM = 1知，k = 2(2)作点A 关于x 轴的对称点A ’，连接A ’B ，交x 轴于点P ，连接PA ，则PA+PB 最小。

用待定系数法求直线A ’B 的解析式为y = - 3x + 5， 因为点P 在x 轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5， 解得 x = 53 所以P( 53，0)11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为 （不必证明）； （3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标． (1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l 的对称点B'(3，5)、C'(5，-2) (2)坐标平面内任一点P(a ，b)关于直线l 的对称点P'的坐标为(b ，a)(3)作点E 关于直线l 的对称点E'，连接DE'，交直线l 于点Q 则QE+QD 的值最小设直线DE'的解析式为：y = kx+b ，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b解得：k = - 25 ，b = - 135 所以 y = - 25 x - 135当x = y 时，有x = y = - 137 则Q 点的坐标为(- 137 ，- 137)【典型题型三】：如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON上作点A ，B 。

使△PAB 的周长最小12、如图（9），∠AOB=450，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则 ①△PQR 的周长最小值是____________。

②当ΔPQR 周长最小时，∠QPR 的度数=_________。

（答案：900）P ECA DB PA'BANOMx yl QE'C'B'ED CB A'A O BA 图（9）OP【典型题型四】求线段差的最大值：如图所示，已知直线MN 与MN 异侧两点A 、B ，在MN 上求作一点P ，使PA －PB 最大，并说明理由。

13.如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=6， CD=4，P 在直线MN 上运动，则 的最大值为( c ) A.B.C.D.14.如图，已知两点A ，B 在直线l 的异侧，A 到直线l 的距离AC=6，B 到直线l 的距离 BD=2，CD=3，点P 在直线l 上运动，则 的最大值为( d )A. B.3 C.1 D.515.如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，1），B （3，-4），在x 轴上有一点P ， 当 的值最大时，点P 的坐标是( b )A. B.（-1，0） C.（0，0） D.（3，0）16、在直角坐标系中，X 轴上的动点M （X ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标X=_ ___.（你能求出当MP-MQ 最大时点M 的横坐标X= ？)【典型题型四】17.如图，已知A （1，3），B （5，1），长度为2的线段PQ 在x 轴上平行移动，当 AP+PQ+QB 的值最小时，点P 的坐标为( b )A. B. C.（1，0） D.（5，0）18.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点．若E ，F 为边OA 上的 两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF 的周长最小时，点F 的坐标为( b )A. B. C.（2，0） D.（3，0）19.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a 的值为( a )A. B.1 C.2 D.Q P A'B'P'AQ'20如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P 、Q 为BC 边上 两个动点，且PQ=2，当BP=( )时，四边形APQE 的周长最小．21.已知A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN ，使从A 到B 的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( D )A. B. C. D.22．如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？*逆向思维23．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线y = ax 2上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线y = ax 2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． (1)直线AP 的解析式为：y = - 53 x + 43 则Q 的坐标为（45，0）(2)①解法一：CQ = |- 2 - 45 | = 145 则抛物线 y = 12 x 2向左移动145 个单位时，A ’C+B ’C 最短抛物线的解析式为：y = 12 （x+145）2(2) ②抛物线向左或向右平移时，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，因为A ’B ’ + CD 是定值，只要使A ’D + B ’C 最短即可 当抛物线向右移动时，因为A ’D > AD ，B ’C > BC ，所以A ’D + B ’C > AD + BC ，则在不存在一个向右的位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短当抛物线向左移动时，设A ’(-4-a ，8)，B ’(2-a ，2)，因为CD = 2，则将点B ’向左平移2个单位得到点B ’’(-a ，2).点A ’关于x 轴的对称点是A ’’(-4-a ，-8)，直线A ’’B ’’的解析式为：y = 52 x + 52m + 2要使A ’D + B ’’D 最短，点D 应在直线A ’’B ’’上将点D(-4，0)的坐标代入到直线A ’’B ’’的解析式，得m = 165 故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，抛物线函数解析式为y = 12 (x+165 )2【典型题型五】如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得AN MN BM ++之和最小。