轴对称最值问题（讲义）
➢课前预习
1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地
方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？
街道
居民区B 居民区A
➢知识点睛
1.轴对称最值问题基本结构分析
（1）求和最小：
①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最
小．
②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，
________________，利用两点之间线段最短进行处理．
例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．
B
A
l
（2）求差最大：
①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．
②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，
__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．
例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP
最大．
A
B
l
2. 解决几何最值问题的理论依据：
①___________________________________（已知两个定点）
②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）
➢ 精讲精练
1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向
这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A ．M
l
B ．
M
Q P
l
C ．
l
D
．
l
2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一
点R ，使△PQR 的周长最小．
P
E
D
C B A
第2题图 第3题图
3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边
△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动
点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．
F
E
D
C B A
M F
E
D C B A
第4题图 第5题图
5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平
分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．
6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使
PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°
D ．∠BPC =∠APD
7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长
最小的是（ ）
D
C B
A
A．
P
O B
A
B．
P
O B
A
C．
P
O B
A
D．P2
P1
P
O B
A
8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边
AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．
9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长
最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．
B
O
10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点
M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．
A B
C
D M
N
D
C
B
A
11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动
点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．
12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若
M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
M
N
D
C
B
A
B
C
D A
M
N
第12题图 第13题图
13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．
14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则
|PA -PB |的最大值为_________．
15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．
F
E P
C
B
A
16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点
A ，
B 和直线l ．
（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；
（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．
【参考答案】
➢课前预习
1.图略
➢知识点睛
1.（1）①定直线；②折转直
图略
（2）①定直线；②折转直
图略
2.①两点之间，线段最短；
②垂线段最短
③三角形两边之差小于第三边
➢精讲精练
1. C
2.图略
3. 5
4.30°
5.8 cm
6. D
7. D
8.作图略，△PMN周长的最小值为4．
9.50°
10.40°
11.如图所示：点M，N即为所求．
12.B
13.8
14.5
15.3
16.（1）图略；
（2）△ABP周长最小为10。