椭圆题型总结一、焦点三角形１. 设F １、Ｆ2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点,弦AB 过F 2,求1ABF △的面积的最大值。

（法一）解:如图,设2(0)xF B ααπ∠=<<,22||||AF m BF n ==，,根据椭圆的定义,1||AF m =，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔＡF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理,得2222)44cos )44cos m m m n n n αα⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，∴m =,n =∴11211||||2()sin 22F ABB A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+α==令sin t α=,所以01t <≤,∴21()22t g t t t t ==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =,故1ABF △(法二）解:设AB ：x=my+1，与椭圆２x 2+3y 2=6联立,消x 得(２m 2+3）y 2+4my-4=0ﻩ∵ﻩＡB 过椭圆内定点Ｆ2,∴ﻩΔ恒大于0.设A(x 1,y １)，Ｂ(ｘ2,y 2），则 ﻩΔ＝48(ｍ2+1)1ABF S ∆=|y １-y 2｜==令 t ＝m 2+1≥1,m 2=t-１, 则1ABF S ∆ﻩ＝∈[１,+∞） f(t)=144t t++在ｔ∈[1,＋∞)上单调递增,且f(t)∈[9,＋∞) ∴ﻩt ＝1即m=0时，ΔABF １注意:上述AB 的设法：x ＝my+1,方程中的ｍ相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况,即ｍ＝0的时候。

在直线斜率不等于零时都可以这样设,往往可使消元过程简单化,而且避免了讨论。

2． 如图，M (-2,０)和N (２,0）是平面上的两点,动点P 满足： 6.PM PN += （1） 求点P 的轨迹方程；(2) 若2·1cos PM PN MPN-∠＝，求点Ｐ的坐标.解:(1) 由椭圆的定义，点Ｐ的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2ａ=6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴ａ=3,从而短半轴 b ＝225a c -=， 所以椭圆的方程为221.95x y += （2) 由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点,故Ｐ、M 、N 构成三角形． 在△ＰMN 中,4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+-②将①代入②,得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以Ｍ、N 为焦点,实轴长为23的双曲线2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得33,25.2x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为335335335335(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.二、点差法定理 在椭圆12222=+by a x （a >b >0)中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.3． 直线l 经过点Ａ(１，2)，交椭圆2213616x y +=于两点Ｐ1、Ｐ2，（1）若A 是线段P 1Ｐ2的中点,求l 的方程；(２）求P 1P ２的中点的轨迹．解:(1)设P 1(ｘ1,ｙ1)、Ｐ2(ｘ2，y ２),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116361163622222121y x y x ⇒016))((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*∵A (1，２)是线段Ｐ1Ｐ2的中点,∴x １+x ２=2,ｙ1+y 2＝4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ,即922121-=--x x y y 。

∴l 的方程为2)1(92+--=x y ,即2x ＋９y －2０=0.（2）设P 1P ２的中点M (ｘ,y ),则x 1＋x ２=2x ,ｙ1+y 2=2y ,代入*式,得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2),∴21y k x -=-,整理,得４x （x -1)＋9y (y -２)=０,∴P 1P 2的中点的轨迹：221()(1)2151029x y --+=。

4． 在直角坐标系xOy 中,经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Ｑ. （1）求k 的取值范围；（２）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ，使得向量+与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在,请说明理由.解:(１）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得:.0224)12(22=+++kx x k 直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k >０．解之得：k <22-或k ＞22． ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （２）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上,1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ,则).,(100y x =由平行四边形法则可知:.2OM OQ OP =+ OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得:2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ,.22=∴k 由(1)可知22=k 时,直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .三、最值问题5. 已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点,M(ｍ,0）（m ∈R),求PM 的最小值。

目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。

提示:设P （x ，ｙ),用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。

解：设P （ｘ,ｙ),ＰM=22()x m y -+=22()14x x m -+-＝23214x mx -+=2234()1433m m x -+-,x ∈[-２,2],结合相应的二次函数图像可得 (1）43m ＜－2，即m<32-时,（PM)min ＝｜m+２|; （2）-2≤43m ≤2，即32-≤m≤32时,(PM)ｍｉn ＝2933m -；（3）43m ＞2，即ｍ>32时,(ＰM ）mi ｎ=|ｍ-2|.说明:（1)类似的，亦可求出最大值;(２）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的点是长轴端点，最大值为a;（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点,最小值为a-ｃ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c;６． 在椭圆2214x y +=求一点Ｐ,是它到直线ｌ:x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

目标:复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。

提示：（１）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直线l 之间的距离；(1）也可以用椭圆的参数方程。

解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2214x y +=相切，则222014x y m x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去ｘ,得8y 2＋４m ｙ+m 2-４=0, Δ=0,解得ｍ=±当m=直线与椭圆的切点P 与直线l 的距离最近,＝此时点Ｐ的坐标是(); 当ｍ=-,直线与椭圆的切点Ｐ与直线l 的距离最远,P 的坐。

解法二：设椭圆上任意一点P （2co ｓθ，sinθ),θ∈[0,２π)则P 到直线l)10πθ++ﻩ∴当θ=4π时,P 到直线l 的距离最大,最大为此时点P；ﻩ 当θ=54π时,P 到直线l 的距离最小,最小为P 的坐标是(,)。

说明:在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。

在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的,而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。

7. 设AB 是过椭圆221925x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点,（１）若△ＡB Ｆ１，求直线A Ｂ的方程；(2）求△ABF 1面积的最大值。

解:(1)设AB :y =kx ,代入椭圆221925x y +=,得x 2=211925k +=2225259k +，∴ｘ1=-x 2又，S △ABF 1=12|OF 1|·|ｘ１-ｘ2｜＝2|x 1-x 2,∴｜x 1-x ２｜＝２,∴2225259k +=5，∴ｋ=，∴直线AB 的方程为y＝x 。

(2）S △A ＢＦ1=12｜OF 1|·|ｘ１－ｘ2｜，∴当ｋ=0时,(S △ＡＢF 1)M ａx =12。

▋8. (20１4金山区一模23题)已知曲线)0>>(1=+:1b a bya x C 所围成的封闭图形的面积为54,曲线1C 的内切圆半径为352. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若OA m MO =(O 为坐标原点）,当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.【解答】:（1)Ｃ1是以(–a ,0)、(０，–ｂ)、(ａ，０)、(０，b )为顶点的菱形,故，…2分又a >b >0，解得：ａ2=5，b 2＝4，因此所求的椭圆的标准方程为;……4分(2）假设ＡB 所在的直线斜率存在且不为零，设ＡＢ所在直线方程为y=kx （ｋ≠０),A (x A ,y A ),令，得,,｜OA ｜２＝，…………6分设M (ｘ,ｙ),由题意得:｜M Ｏ|2=m 2|OA ｜2，(m >0)，即:，因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得:，又x ２＋y ２≠０,整理得：（m ＞0）,……9分当k =０或斜率不存在时,上式仍然成立,综上所述,点M 的轨迹方程为(m ＞0)…………………10分(3） 当k 存在且不为零时,由(２）得:，，|ＯＡ｜2＝,由，得:，，|OM |2………13分｜ＡB ｜2=４|OA |２=，故＝………14分≥==,当且仅当4+5k 2＝5+４k ２时，即k ＝±1时，等号成立，此时△ＡBM 的面积的最小值为.…………………16分当k =0时,==>,当k 不存在时,=＝＞，综上所述，△AＢM 的面积的最小值为．……………………………18分9. 设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.（1)若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．(１)解:依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>. 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21214x x k=-=+ ·····················································································由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==; 由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k =+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =. (２）解法一:根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==．又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+1525(14k =+==≤ 当21k=,即当12k =时，上式取等号.所以S 的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =.设11y kx =,22y kx =，由①得20x >,210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S=+△△222x y =+===当222x y =时,上式取等号．所以S 的最大值为四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(10)F ，，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。