y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
然后相加,
由于沿辅助曲线方向相
反的两个曲线积分相加刚好抵消, 类曲面斯托克斯公式仍成立.
所以对这
注1º 斯托克斯公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系.
2º 斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysd zcosd z cdosx
或
P d x Q d y Rd z
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R( x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交
于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克
斯公式,
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公 式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z)dy
Γ
(3)
R y
dydz
R x
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算
I y2 d x xyd y xz d z .
解(方法1)
设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
取下侧,
x
y
D
O
D
y
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被 Γ所围的部分， 2
的单位法向量
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
O
y x = L
L
在yOz面, zOx面上的投影为零
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(
Q x
P y
)d
x
d
y
z
n
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d xd y
n
1
1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
111
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
(
x
y
z)dS
取4为 3平面dxS 32
y2
z3
D
3
2
xy
的3(d上在x侧dy上 被 ,Γx6所x围yy的 部z 分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
fy
左边
P z
fy
P cosγdS
y
P z
f
y
P y
dxdy
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
证明思路:
第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线
只交于一点,
的正向边界曲线
第十章
第七节斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,
如果函数
一阶连续偏导数, 则
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy.
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cosγ dS
z
y
z
y
cos β
fy
,
1
f
2 x
Байду номын сангаасf y2
cosγ
1
1
f
2 x
f y2
故有 cos β f y cosγ
左边
P z
f
y
P y
cos γdS
托克斯公式.
5º 如何选取 ？
在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q， R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.
例利1 用斯托克斯公式计算 z d x x d y yd z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形
x
y
P
Q
dxd y
dS z R
其中
n
{cos α, cos
β , cos γ }为指定侧的单位法向量.
3º 斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧 ； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
的整个边界,
它的正方向与这个三角形上侧的法向
量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d ydz
x
z
d y d z d z d x d x d y
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d x d y 3 .
D xy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分