Γ
∑ 鄣ｙ 鄣ｚ
鄣ｚ 鄣ｘ
＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（２）
鄣ｘ 鄣ｙ
二元函数积分学中，格林公式描述了 ｘＯ ｙ 平面中闭域
Ｄ 上的二重积分和沿 Ｄ 的边界曲线 Ｌ 的曲线积分之间的关
系，即
乙 蓦 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＝ （鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ，
１
Ｄ 鄣ｘ 鄣ｙ
（３）
其中 Ｌ 是 Ｄ 的正向边界． 当∑是 ｘＯ ｙ 面上的平面闭区
→
→
→
→
Ｇ Ａ ＋Ａ Ｂ ＋ＢＣ ＋ＣＧ
乙 乙 ＝
Ｐｄｘ＋
Ｑ ｄｙ．
→→
→→
Ｇ Ａ ＋ＢＣ
Ａ Ｂ ＋ＣＧ
在 Ｇ Ｃ Ｄ Ｅ 面上应用格林公式（６）可得
（８）
蓦 乙 （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ＝
Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ
Ｇ ＣＤ Ｅ 鄣ｙ 鄣ｚ
→→→→
Ｇ Ｃ ＋ＣＤ ＋Ｄ Ｅ ＋ＥＧ
乙 乙 ＝
Ｑ ｄｙ＋
Ｒ ｄｚ．
示，不失一般性，设 △∑为三个和坐标平面平行的面 Ｇ Ａ Ｂ Ｃ 、
Ｇ Ｃ Ｄ Ｅ 和 Ｇ Ｅ ＦＡ 之和，其正侧如图所示，则其边界有向闭曲
线为Ａ乙Ｂ Ｃ乙 Ｄ Ｅ Ｆ乙Ａ ．在 Ｇ Ａ Ｂ Ｃ 面上应用格林公式（３）可得
蓦 乙 （鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ＝
Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ
Ｇ Ａ ＢＣ 鄣ｘ 鄣ｙ
在文献［２］中，我们从对坐标的曲面积分的物理意义即 流体流量问题出发，推测出了高斯公式，类似可以从对坐标 的曲线积分的物理意义即变力沿曲线做功问题推测出斯托 克斯公式． 本文结合矢量分析中有关场论的内容，对斯托 克斯公式进一步系统分析，指出其和格林公式建立在矢量 场基础之上的形式上的统一性，并且应用格林公式，给出斯 托克斯公式的不同于［２］的又一推证方法． 本文旨在对多角 度描述斯托克斯公式做一尝试． 2 斯托克斯公式和格林公式的统一
蓐 蓦 Ａ軑·τ軆ｄｌ＝ ｒｏｔＡ軑·ｎ軋ｄｓ，
（１）
Γ
∑
其中τ軆为 Γ 的单位切向量，ｎ軋为∑的单位法向量，
ｒｏｔＡ軑＝（鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）軆ｉ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）軆ｊ＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋 鄣ｙ 鄣ｚ 鄣ｚ 鄣ｘ 鄣ｘ 鄣ｙ
为矢量场Ａ軑的旋度．（１）式的坐标形式为
蓐 蓦 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ
摘 要：本文首先利用矢量分析方法, 给出斯托克斯公式和格林公式建立在矢量场之上的形式上的统一性. 然后，应用 格林公式，给出斯托克斯公式的推证方法.旨在促进对斯托克斯公式的理解和运用，展现数学知识之间的联系，提供分析问题 的合理方法.
关键词：斯 托 克 斯 公 式 ；格 林 公 式 ；矢 量 分 析 中图分类号：Ｏ １７２．２ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）08- 0001- 02
Ｌ
Ｌ
Ｌ
（５）
τ軆 为 Ｌ 的单位切向量．结合（２）、（３）、（４）和（５）易得格林
公式的矢量形式也是（１）式．
本部分最后，给出闭域 Ｄ 分别在 ｙＯ ｚ 平面和 ｘＯ ｚ 平面
上时的格林公式如下
蓐 蓦 Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ，
Ｌ
Ｄ 鄣ｙ 鄣ｚ
（６）
蓐 蓦 Ｐｄｘ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ．
1 引言 斯托克斯（Ｓｔｏｋｅｓ）公式是格林（Ｇ ｒｅｅｎ）公式的推广，该公
式把空间曲面上的曲面积分与其边界闭曲线上的曲线积分 联系起来，对进行曲面积分和曲线积分的简化计算的重要 性是毋容置疑的．全面、深刻地理解斯托克斯公式，无疑对于 熟练掌握和灵活运用它是至关重要的．
多数教科书中，对斯托克斯公式采用传统严密的内容 安排模式—首先陈述公式成立的条件及公式本身，然后给 出证明，最后辅以例题展示公式的应用，其证明方法是将曲 面积分转化为投影平面上的二重积分，然后应用格林公式 将二重积分转换为曲线积分［１］．笔者在多年的教学中发现，斯 托克斯公式对大多初学者来说是一个难点．因而，如何多角 度描述斯托克斯公式，以促进对公式本身的理解和运用，展 现数学知识之间的联系，提供分析问题的合理方法，是一个 值得探讨的问题．
域时，斯托克斯公式就变成格林公式，所以格林公式是斯托
克斯公式的特殊情况［１］．这启示我们将这两个公式从形式上
统一起来．
设三维空间向量场是由Ａ軑（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）軆ｉ＋Ｑ （ｘ，ｙ，ｚ）軆ｊ给出
基 金 项 目 ：中 国 矿 业 大 学 (北 京 )课 程 建 设 与 教 改 项 目 (K100701)
－１－
的特殊的平面向量场，由于 Ｒ （ｘ，ｙ，ｚ）＝０，所以，
ｒｏｔＡ軑＝（鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）軆ｉ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）軆ｊ＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋 鄣ｙ 鄣ｚ 鄣ｚ 鄣ｘ 鄣ｘ 鄣ｙ
＝（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋， 鄣ｘ 鄣ｙ
又注意到此时
（４）
蓐 蓐 蓐 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＝ Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ Ａ軑·τ軆ｄｌ，
Ｌ
Ｄ 鄣ｚ 鄣ｘ
（７）
3 斯托克斯公式的推证
鉴于格林公式是斯托克斯公式的特殊情况及两者在矢
量形式上的统一性，又注意到曲线积分关于路径及曲面积
分关于曲面的可加性，在本部分，我们用格林公式推测斯托
克斯公式．
由于（２）式右端的积分值和曲面微元的形状无关，将曲
面∑分割成若干（很多）个微小的曲面，记为 △∑，如图 １ 所
第 28 卷 第 8 期（下） 2012 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
从格林公式到斯托克斯公式
苏新卫
（中国矿业大学（北京）理学院 数学系，北京 100083）
→→
→→
Ｇ Ｃ ＋Ｄ Ｅ
ＣＤ ＋ＥＧ
在 Ｇ Ｅ ＦＡ 面上应用格林公式（７）可得
（９）
蓦 乙 （鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ＝
Ｐｄｘ＋Ｒ ｄｚ
Ｇ ＥＦＡ 鄣ｚ 鄣ｘ
设三维空间向量场由Ａ軑（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）軆ｉ＋Ｑ （ｘ，ｙ，ｚ）軆ｊ＋Ｒ （ｘ，ｙ，ｚ）
ｋ軋给出，Γ 是场中分段光滑的有向闭曲线，∑是场中以 Γ 为边 界的分片光滑的有向曲面，∑的正侧与 Γ 的正向符合右手 规则，Ｐ、Ｑ 、Ｒ 在包含∑的闭域内具有一阶连续偏导数．在 《矢量分析与场论》［３］中，斯托克斯公式有如下的矢量形式