2
0
解法2 化空间曲线积分为平面曲线积分
记C为C 在xOy平面上的投影，则
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[(2 x y ) y ]dx [ x (2 x y )]dy
C
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~
第10章 曲线积分与曲面积分
10.1 第一类（对弧长的）曲线积分 10.2 第一类（对面积的）曲面积分 10.3 第二类（对坐标的）曲线积分 10.4 格林公式及其应用 10.5 第二类（对坐标的）曲面积分 10.6 高斯公式 通量与散度 10.7 斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , z y
空间有向曲线
同理可证
Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , x z
R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , y x
小结
斯托克斯公式


cos x P
cos y Q
cos dS z R


dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

rotF dS F dr
1 3
3dS

3 d
D xy
Dxy
O
1
x
3 2
例2 计算 ( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz ，
C
x 2 y 2 1, 其中C : 从正 z 轴方向往 x y z 2, （P111-例4） 负 z 轴方向看是顺时针.

利用Stokes公式, 有
i
j y Q
k dS z R
环流量 F dr x P
2. 旋度的定义(rotation)
i
j
k
称向量 x P
y Q
为向量场F的旋度 ( rotF ) . z R
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是 以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 ∑的侧符合右手规则, 函数 P (x, y, z )，Q (x, y, z), R(x, y, z) 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数，则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dxdy dzdx y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
n

右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
z
n
: z f ( x, y)

如图 设 与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并且 取上侧,有向曲线 C 为 的 正向边界曲线 在 xOy 面 上的投影，所围区域 D xy .
解法１ 将曲线 C 化成参数方程
令x cos , y sin , z 2 x y 2 cos sin : 2 0
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[2(cos sin ) 3cos 2 sin 2 ] d 2
x
证明

O
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )dS y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cos dS z y y z
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy z x x y y z
Pdx Qdy Rdz

.
故结论成立.
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy x P y Q Pdx Qdy Rdz z R


另一种形式
cos cos cos dS Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n (cos ,cos ,cos )
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
2 y 正向看为顺时针,计算 I d x xy d y xz d z .
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法向量的方向余弦 1 1 , cos cos 0 , cos 2 2 利用斯托克斯公式，得
I
(当Σ是 xOy 面上的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,其中 是 平面 x y z 1 被三坐标面所截成的三角形的 整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量 z 之间符合右手规则.

解

按斯托克斯公式, 有
1
d (2 x y ) ( x y )~~~~~~~~~~ (2 2 x y )dx (3 x y 2)dy
C Green公式


x 2 y 2 1

(3 1)dxdy 2
解法3
用Stokes公式
取 为 x y z 2 上以 C 为边界的有限 部分,其法向量与 z 轴的正向夹角为钝角. D: x 2 y 2 1为 在 xOy 面上的投影,则
i 旋度 rotF x P
j y Q
k z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
Stokes公式的物理解释:
向量场 F 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 F 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
xy
1
根椐格林公式
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx y Dxy C
P P 即 P[ x , y , f ( x , y )]dx dzdx dxdy z y C
2
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

0
x) n (cos ,cos ,cos ) 3
zdx xdy ydz

dydz dzdx dxdy

Dxy 如图
y
1
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
dydz

dzdx y xz
dxdy z x y 2dxdy

x z y
D
2dxdy 2 .
练习 为柱面 x 2 y 2 2 y 与平面 y = z 的交线,从 z 轴

z


y
cos cos x y y 2 xy
cos 1 ( y z )d S 0 dS 2 z xz
o x
2
二、环(流)量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k , 则沿场F中某一封闭的有向曲线上的曲线积分 F dr Pdx Qdy Rdz 称为向量场F 沿曲线按所取方向的环流量 .