上海中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．若复数12)31i z i +=-（，则||z =．2．抛物线2y x =的准线方程是．3．椭圆2236x y +=的焦距是．4．已知复数,a b 满足集合2{,}{,1}a b a b -=+，则ab =．5．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=．6．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P Q 、两点，则||PQ 的取值范围是．7．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是．8．平面上一台机器人在运行中始终保持到点(2,0)P -的距离比到点(2,0)Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是．9．12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260FPF ∠=︒，若1F 关于12FPF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是．10．已知一族双曲线22:(,2019)2019n nE x y n n *-=∈N ≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是,n n B C ，记n n n A B C △的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=．11．已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =uuu r uuu r ，当m =时，点B 横坐标的绝对值最大．12．已知椭圆222:0)6x y C m m +=>>左、右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点分别为12,B B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212||||||||PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2；④||OP ，其中正确命题的序号是．二、选择题13．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要14．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A ．BC ．2D ．215．给出下列四个命题：①若复数12,z z 满足12||0z z -=，则12z z =；②若复数12,z z 满足1212||||z z z z +=-，则12=0z z ⋅；③若复数z 满足22||z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足||z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=uuu r uuu r（其中O 是坐标原点），则ABO △与AFO △的面积之和的最小值是（）A ．2B ．3CD 三、解答题17．已知复数数z 满足2||274z z i -=+，求z ．18．已知复数2(2)1iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m ∈R ）．（1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求|1|z -的取值范围．19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5．（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不．会．发生碰撞．20．已知曲线C 的参数方程是222412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t ∈R ）．（1）曲线C 的普通方程；（2）过点2,1)A （的直线与该曲线交于,P Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．21．由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线2(1)(0,0)y a x y a =->≥合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点2,3M（）．（1）求a 的值；（2）设(1,0),(1,0)A B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于,,P Q A 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,(0,1)M N ⎛- ⎝⎭，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与圆2223x y +=相切与点T ．（1）求椭圆C 的方程；（2）以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQλ=uuu r uuu r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段||||AT BT ⋅是否为定值，如果是，求||||AT BT ⋅的值；如果不是，求||||AT BT ⋅的取值范围．参考答案一、填空题12．14x =-3．44．15．56i +6．[4,)+∞7．(-∞8．9．3310．505211．512．①③【第9题解析】设1F 关于12FPF ∠平分线的对称点为1F '，由题意及椭圆对称性，可知11F PF '△为等边三角形，1PF x '⊥轴且经过2F ，∵12||2F F c =，∴12||||23cPF PF a a+==⇒=．【第10题解析】设(,)(0)n n n n A x y y >，其中222019nn nx y -=，n E 为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，∴2n n n B A C π∠=，∴22||11||||2248076n n n n n n n x y na A B A C -=⋅⋅=⋅=，∴12201912201950580762a a a +++++⋅⋅⋅+==L ．【第11题解析】设直线AB 的方程为(1)x t y =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =uuu r uuu r ，知122x x =-，22222(1)(4)844)044x t y t x tx m t x y m =-⎧⇒+++-=⎨+=⎩（，∴12222222221222228844(44)(22)244t t x x x x t t m t m t x x x x t t ⎧⎧+=-=-=⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨--⎪⎪=-==⎪⎪⎩+⎩+，①当0t =时，1m =，2||0x =；②当0t ≠时，222222222(22)643236441)4(4)11m t t mx t t m t t m m --==⇒+=⇒=≠++--，此时222222364(22)(22)109(5)1614324441mm m tm m m m x t m ----+---+-====+-≤，当5m =时，2||x 取得最大值2；综上，5m =．【第12题解析】由题意，点P 为椭圆222:16x y C m +=与椭圆222:166y x m Γ+=-的交点（共4个），①正确；②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →），||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时22:163x y C +=，22:163y x Γ+=，两方程相加得222222x y +=⇒，即||OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P不在坐标轴上，∴||OP <，④错误．二、选择题13．B14．C ．5215．B 16．B【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设12z z 、在复平面上对应点12Z Z 、，则120OZ OZ ⋅=uuuu r uuuu r，反例可以是121,z z i ==；③的反例0z =．【第16题解析】1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设112212(,),(,)(0,0)A x y B x y y y ><，其中221122,x y x y ==，121212222OA OB x x y y y y ⋅=⇒+=⇒=-uuu r uuu r，2112221212121111|()|221ABO yy S y y y y y y y y ==-=-△，211111110124801AFO y y S y ==△，∴1121992388ABO AFO y y S S y y +=-=+≥△△．三、解答题17．32z i =+或12z i =-+．18．(21)(1)z m m i =++-，（1）12m =-；（2）25|1|5z -=．19．（1）由题意，2224:1621612a c a x y C a c c -==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨+==⎩⎩；（2）设(,)(,0)P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出(2,3)P ，设直线方程为3(2)y k x -=-，即(32)0kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心(2,0)到直线(32)kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-．20．（1）2212y x -=；（2）点差法：设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，其中12122,2x x x y y y +=+=，2211121212121212212122221()()2()22()()212PQ y x y y y y y y x x x x x x x k x x y y y y x ⎧-=⎪-+-+⎪⇒-+=⇒===⎨-+⎪-=⎪⎩，12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=．21．（1）1a =．（2）由题意得PQ 方程为(1)y k x =-，代入21y x =-得210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为2(1,2)k k k --．PQ 方程(1)y k x =-代入221x y +=得2222(1)210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212(,)11k k k k --++．因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =±（负值舍去）．因此存在实数1k =+，使QBA PBA ∠=∠．22．椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=63=，即223220m k --=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，22122222212242212(12)42202212km x x x y k k x kmx m y kx m m x x k ⎧+=-⎪⎧+=⎪+⇒+++-=⇒⎨⎨=+-⎩⎪=⎪⎩+121222()212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=uuu r uuu r uuu r uuu r且0λ≠（0λ=，即0m =时，,A B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴12020120024(12)2(12)km x x x x k y y m y y k λλλλ-⎧+⎧==⎪⎪+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴22224222(12)(12)km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，化简得2224(12)m k λ=+①由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <-≤，即24833λ<≤②又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④，由②④，得24833λ<≤，解得λ⎡⎛∈⎢⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，21222212m x x k-=+，而22221212121222()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+uuu r uuu r ，∴OA OB ⊥uuu r uuu r ，∴22Rt Rt ||||||3AOT OBT AT BT OT ⇒⋅==△∽△．。